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CHAPITRE VII.

PROPAGATION DE LA CHALEUR DANS UN PRISME
RECTANGULAIRE.

321.

L’équation $\textstyle {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}=0$ que nous avons rapportée dans la section IV du chapitre II, page 119, exprime le mouvement uniforme de la chaleur dans l’intérieur d’un prisme d’une longueur infinie, assujétie par son extrémité à une température constante, et dont on suppose les températures initiales nulles. Pour intégrer cette équation, on cherchera en premier lieu une valeur particulière de $v,$ en remarquant que cette fonction $v$ doit demeurer la même, lorsque $y$ change de signe, ou lorsque $z$ change de signe ; et qu’elle doit prendre une valeur infiniment petite, lorsque la distance $x$ est infiniment grande. D’après cela il est facile de voir que l’on peut choisir pour valeur particulière de $v$ la fonction $ae^{-mx}.\cos .ny\cos .pz\,;$ et faisant la substitution on trouve $m^{2}-n^{2}-p^{2}=0.$ Mettant donc pour $n$ et $p$ des quantités quelconques, on aura $\textstyle m={\sqrt {n^{2}+p^{2}}}.$ La valeur de $v$ doit aussi satisfaire à l’équation déterminée

${\frac {h}{k}}v+{\frac {dv}{dy}}=0,$

lorsque $y=l$ ou $-l,$ et à l’équation $\textstyle {\frac {h}{k}}v+{\frac {dv}{dy}}=0,$ lors-