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CHAPITRE VI.

$\mathrm {X} ^{2}\,\psi ^{2}\left({\frac {\mu ^{2}+\lambda ^{2}}{\mu ^{2}}}\right)\;\mathrm {et} \;{\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}}\left(1+{\frac {h^{2}}{2^{2}k\,m_{i}}}\right),$

en mettant pour $\mu$ et $\lambda$ leurs valeurs, et désignant par $\mathrm {U} _{i}$ la valeur que prend la fonction $u$ ou $\textstyle \psi \left(x{\sqrt {\frac {m_{i}}{k}}}\right)$ lorsqu’on suppose $x=\mathrm {X}$. L’indice $i$ désigne le rang de la racine $m$ de l’équation déterminée qui donne une infinité de valeurs de $m$. Si l’on substitue $m_{i}$ ou ${\frac {k}{2^{2}}}\mathrm {X} ^{2}\theta _{i}$ dans ${\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}}\left(1+{\frac {h^{2}}{2^{2}k\,m_{i}}}\right)$

on aura $\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right)\cdot$

319.

Il résulte de l’analyse précédente que l’on a les deux équations

$\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,u_{j}\,u_{i}\,dx\right)=0\;\;\mathrm {et} \;\;\int \limits _{0}^{\mathrm {X} }\left(x\,u_{i}^{2}\,dx\right)=\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right){\frac {\mathrm {X} ^{2}\mathrm {U} _{i}^{2}}{2}},$

la première a lieu toutes les fois que les nombres $i$ et $j$ sont différents, et la seconde lorsque ces nombres sont égaux.

Reprenant donc l’équation $\varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\mathrm {etc.}$ dans laquelle il faut déterminer les coëfficients $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, etc. On trouvera un de ces coëfficients désigné par $a_{i}$, en multipliant les deux membres de l’équation par $x\,u_{i}\,dx$, et en intégrant depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$ ; le second membre sera réduit par cette intégration à un seul terme, et l’on aura l’équation $2\int \left(x\,\varphi (x)\,u_{i}\,dx\right)=a_{i}\,\mathrm {X} ^{2}\,\mathrm {U} _{i}^{2}\left(1+\left({\frac {h\mathrm {X} }{2^{2}k{\sqrt {\theta _{i}}}}}\right)^{2}\right)$, qui donne la valeur de $a_{i}$. Les coëfficients $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, $a_{i}$, étant ainsi déterminés, la condition exprimée par l’équation