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THÉORIE DE LA CHALEUR.

doit avoir toutes ses racines réelles. Nous prouverons en effet que l’équation $f\theta =0$ a toutes ses racines réelles, qu’il en est de même par conséquent de l’équation $f'\theta =0$, et qu’il s’ensuit que l’équation $\mathrm {A} ={\tfrac {\theta .f'\theta }{f\theta }}$ a aussi toutes ses racines réelles, $\mathrm {A}$ représentant la quantité connue $-{\tfrac {h\mathrm {X} }{2}}$.

308.

L’équation $y=1-\theta +{\frac {\theta ^{2}}{2^{2}}}-{\frac {\theta ^{3}}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {\theta ^{4}}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}-\mathrm {etc.}$ étant différentiée deux fois, donne la relation suivante :

$y+{\frac {dy}{d\theta }}+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0.$

On écrira comme il suit cette équation, et toutes celles que l’on en déduit par la différentiation,

${\begin{aligned}y+{\frac {dy}{d\theta }}&+\theta {\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}=0\\{\frac {dy}{d\theta }}+2{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}&+\theta {\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}=0\\{\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+3{\frac {d^{3}y}{d\theta ^{3}}}&+\theta {\frac {d^{4}y}{d\theta ^{4}}}=0,\\\mathrm {etc.} &\\\end{aligned}}$

et en général

${\frac {d^{i}y}{d\theta ^{i}}}+(i+1){\frac {d^{(i+1)}y}{d\theta ^{(i+1)}}}+\theta {\frac {d^{(i+2)}y}{d\theta ^{(i+2)}}}=0$

Or si l’on écrit dans l’ordre suivant l’équation algébrique $\mathrm {X} =0$, et toutes celles qui en dérivent par la différentiation

$\mathrm {X} =0,\;\;{\frac {d\mathrm {X} }{dx}}=0,\;\;{\frac {d^{2}\mathrm {X} }{dx^{2}}}=0,\;\;{\frac {d^{3}\mathrm {X} }{dx^{3}}}=0,\;\;{\frac {d^{4}\mathrm {X} }{dx^{4}}}=0\;\;\mathrm {etc} \;;$