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CHAPITRE IV.

En effet, 1^o les racines imaginaires du facteur ${\frac {1}{\cos .\varepsilon }}=0$ n’appartiennent point à l’équation $\varepsilon -\lambda \mathrm {tang.} \varepsilon =0$ puisque ces racines sont toutes de la forme $m+n{\sqrt {-1}}$ ; 2^o l’équation $\sin .\varepsilon -{\frac {\varepsilon }{\lambda }}\cos .\varepsilon =0$ a nécessairement toutes ses racines réelles lorsque $\lambda$ est moindre que l’unité. Pour prouver cette dernière proposition, il faut considérer $\sin .\varepsilon$ comme le produit d’une infinité de facteurs qui sont

$\varepsilon \left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\;\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{2^{2}\pi ^{2}}}\right)\;\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{3^{2}\pi ^{2}}}\right)\;\left(1-{\frac {\varepsilon ^{2}}{4^{2}\pi ^{2}}}\right)\;$

et considérer $\cos .\varepsilon$ comme dérivant de $\sin .\varepsilon$ par la différentiation. On supposera qu’au lieu de former $\sin .\varepsilon$ du produit d’un nombre infini de facteurs, on emploie seulement les $m$ premiers, et que l’on désigne le produit par $\varphi _{m}\varepsilon$. Pour trouver la valeur correspondante qui remplace $\cos .\varepsilon$, on prendra $d{\frac {\varphi _{m}\varepsilon }{d\varepsilon }}$ ou $\varphi '_{m}\varepsilon$. Cela posé, on aura l’équation $\varphi _{m}\varepsilon -{\frac {\varepsilon }{\lambda }}\varphi '_{m}\varepsilon =0$. Or, en donnant au nombre $m$ ses valeurs successives 1, 2, 3, 4, etc. depuis 1 jusqu’à l’infini, on reconnaîtra, par les principes ordinaires de l’algèbre, la nature des fonctions de $\varepsilon$ qui correspondent à ces différentes valeurs de $m$. On verra que, quelque soit le nombre $m$ des facteurs, les équations en $\varepsilon$ qui en proviennent ont les caractères distinctifs de celles qui ont toutes leurs racines réelles. De là on conclut rigoureusement que l’équation ${\frac {\varepsilon }{\mathrm {tang.} \varepsilon }}=\lambda$, dans laquelle $\lambda$ est moindre que l’unité ne peut avoir aucune racine imaginaire. Cette même proposition pourrait