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CHAPITRE IV.

grale étant prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X}$. On mettra pour $v$ sa valeur

${\frac {a_{1}}{x}}e^{-kn_{1}^{2}t}\sin .n_{1}x+{\frac {a_{2}}{x}}e^{-kn_{2}^{2}t}\sin .n_{2}x+{\frac {a_{3}}{x}}e^{-kn_{3}^{2}t}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

et l’on aura l’équation

${\frac {3}{\mathrm {X} ^{3}}}\int x^{2}v\,dx={\frac {3}{\mathrm {X} ^{3}}}\left\{a_{1}{\frac {\sin .n_{1}\mathrm {X} -n_{1}\mathrm {X} \cos .n_{1}\mathrm {X} }{n_{1}^{2}}}\,4\,e^{-kn_{1}^{2}t}\right.$

$+\left.a_{2}{\frac {\sin .n_{2}\mathrm {X} -n_{2}\mathrm {X} \cos .n_{2}\mathrm {X} }{n_{2}^{2}}}\,4\,e^{-kn_{2}^{2}t}+\mathrm {etc.} \right\}$

On a trouvé précédemment $a_{i}={\frac {2}{n_{i}}}.{\frac {\sin .n_{i}\mathrm {X} -n_{i}\mathrm {X} \cos .n_{i}\mathrm {X} }{2n_{i}\mathrm {X} -{\frac {1}{2}}\sin .2n_{i}\mathrm {X} }}$. On aura donc, en désignant par $z$ la température moyenne,

${\frac {z}{3.4}}={\frac {\sin .\varepsilon _{1}-\varepsilon _{1}\cos .\varepsilon _{1}}{\varepsilon _{1}^{2}(2\varepsilon _{1}-\sin .2\varepsilon _{1})\varepsilon _{1}}}e^{-\mathrm {K} \mathrm {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{C.D.X^{2}}} t}$

$+{\frac {\sin .\varepsilon _{2}-\varepsilon _{2}\cos .\varepsilon _{2}}{\varepsilon _{2}^{2}(2\varepsilon _{2}-\sin .2\varepsilon _{2})\varepsilon _{2}}}e^{-\mathrm {K} \mathrm {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{C.D.X^{2}}} t}+\mathrm {etc.}$

équation dans laquelle tous les coëfficients des exponentielles sont positifs.

302.

Nous considérerons le cas où toutes les autres conditions demeurant les mêmes, la valeur $\mathrm {X}$ du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l’article 285, on voit que la quantité $\textstyle {\frac {\mathrm {HX} }{\mathrm {K} }}$ devenant infinie, la droite menée par l’origine, et qui doit couper les différentes branches de la courbe se confond avec l’axe des $x$. On trouve donc pour les différentes valeurs de $\varepsilon$ les quantités $\pi$, $2\pi$, $3\pi$, etc.

Le terme de la valeur de $z$ qui contient $e^{-{\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\cdot {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {X} ^{2}}}t}$ deve-