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THÉORIE DE LA CHALEUR.

$x=\mathrm {X}$ fera connaître le coëfficient $a_{i},$ $i$ étant l’indice du rang de la racine $n.$

La fonction arbitraire $\mathrm {F} x$ entre dans chaque coëfficient sous le signe de l’intégration, et donne à la valeur de $v$ toute la généralité que la question exige, on parvient ainsi à l’équation suivante

${\frac {xv}{2}}\!=\!{\frac {\sin .n_{1}x\!\int \!x\sin .n_{1}x\,\mathrm {F} x.dx}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{1}}}\sin .2n_{1}\mathrm {X} }}e^{-kn_{1}^{2}t}\!+\!{\frac {\sin .n_{2}x\!\int \!x\sin .n_{2}x\,\mathrm {F} x.dx}{\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{2}}}\sin .2n_{2}\mathrm {X} }}e^{-kn_{2}^{2}t}\!+\!\mathrm {etc.}$

Telle est la forme que l’on doit donner à l’intégrale générale de l’équation ${\frac {dv}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {2}{x}}{\frac {dv}{dx}},$ pour qu’elle représente le mouvement de la chaleur dans la sphère solide. En effet toutes les conditions de la question seront remplies : 1^o l’équation aux différences partielles sera satisfaite ; 2^o la quantité de chaleur qui s’écoule à la surface conviendra à-la-fois à l’action mutuelle des dernières couches et à l’action de l’air sur la surface ; c’est-à-dire que l’équation ${\frac {dv}{dx}}+hv=0,$ à laquelle chacune des parties de la valeur de $v$ satisfait lorsque $x=\mathrm {X} ,$ aura lieu aussi lorsqu’on prendra pour $v$ la somme de toutes ces parties ; 3^o la solution donnée conviendra à l’état initial lorsqu’on supposera le temps nul.

292.

Les racines $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4},$ etc. de l’équation $\textstyle {\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X}$ sont très-inégales ; d’où l’on conclut que si la valeur du temps écoulé $t$ est considérable, chaque terme de la valeur de $v$ est extrêmement petit par rapport à celui qui le précède. À mesure que le temps du refroidissement augmente, les dernières parties de la valeur de $v$ cessent d’avoir aucune