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CHAPITRE IV.

Si $m$ et $n$ sont des nombres choisis parmi les racines $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4},$ et qui satisfont à l’équation $\textstyle {\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} ,$ on aura

${\frac {m\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} m\mathrm {X} }}={\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}\;\mathrm {ou} \;m\cos .m\mathrm {X} \sin .n\mathrm {X} -n\sin .m\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} =0.$

On voit par-là que la valeur totale de l’intégrale est nulle ; mais il y a un seul cas où cette intégrale ne s’évanouit pas, c’est lorsque $m=n.$ Elle devient alors ${\tfrac {0}{0}},$ et, par l’application des règles connues, elle se réduit à $\textstyle {\frac {1}{2}}\mathrm {X} -{\frac {1}{4n}}\sin .2n\mathrm {X} .$ Il résulte de là que pour avoir la valeur du coëfficient $a_{1},$ dans l’équation $(e),$ il faut écrire

$2\int x\sin .n_{1}x.dx\,Fx=a_{1}\left(\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{1}}}\sin .2n_{1}\mathrm {X} \right).$

Le signe $\textstyle \int$ indiquant que l’on prend l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ On aura pareillement

$2\int x\sin .n_{2}x.dx\,Fx=a_{2}\left(\mathrm {X} -{\frac {1}{2n_{2}}}\sin .2n_{2}\mathrm {X} \right).$

On déterminera de même tous les coëfficients suivants. Il est aisé de voir que l’intégrale définie $\textstyle 2\int x.\sin .nx\,dx\,\mathrm {F} x$ a toujours une valeur déterminée, quelle que puisse être la fonction arbitraire $\mathrm {F} x.$ Si cette fonction $\mathrm {F} x$ est représentée par l’ordonnée variable d’une ligne qu’on aurait tracée d’une manière quelconque, la fonction $x\,\mathrm {F} x.\sin .nx,$ correspondra aussi à l’ordonnée d’une seconde ligne que l’on construirait facilement au moyen de la première. L’aire terminée par cette dernière ligne entre les abscisses $x=0,$