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THÉORIE DE LA CHALEUR.

dans lesquels l’ordonnée varie avec la distance $x,$ proportionnellement au quotient du sinus par l’arc. Le mouvement général de la chaleur dans l’intérieur de la sphère, sera alors décomposé en autant de mouvements particuliers dont chacun s’accomplira librement comme s’il était seul.

Désignant par $n_{1}\,n_{2}\,n_{3}\,n_{4}\,n_{5},$ etc. les quantités qui satisfont à l’équation $\textstyle {\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} ,$ et que l’on suppose rangées par ordre, en commençant par la plus petite ; on formera l’équation générale

$vx=a_{1}e^{-kn_{1}^{2}t}\sin .n_{1}x+a_{2}e^{-kn_{2}^{2}t}\sin .n_{2}x+a_{3}e^{-kn_{3}^{2}t}\sin .n_{3}x+\mathrm {etc.}$

Si l’on fait $t=0,$ on aura pour exprimer l’état initial des températures

$xv=a_{1}\sin .n_{1}x+a_{2}\sin .n_{2}x+a_{3}\sin .n_{3}x+a_{4}\sin .n_{4}x+\mathrm {etc.}$

La question consiste à déterminer, quel que soit l’état initial, les coëfficients $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4},$ etc. Supposons donc que l’on connaisse les valeurs de $v$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} ,$ et représentons ce système de valeurs par $\mathrm {F} x$ ; on aura

$\mathrm {F} x={\frac {1}{x}}\left(a_{1}\sin .n_{1}x+a_{2}\sin .n_{2}x+a_{3}\sin .n_{3}x+a_{4}\sin .n_{4}x+\mathrm {etc.} \right)\;\;({\boldsymbol {e}})$

291.

Pour déterminer le coëfficient $a_{1},$ on multipliera les deux nombres de l’équation par $x\sin .nx\,dx,$ et l’on intégrera depuis $x=0$ jusqu’à $x=\mathrm {X} .$ L’intégrale $\textstyle \int \sin .mx\,\sin .nx\,dx$ prise entre ces limites, est

${\frac {1}{m^{2}-n^{2}}}\left(-m\sin .n\mathrm {X} \cos .m\mathrm {X} +n\sin .m\mathrm {X} \cos .n\mathrm {X} \right)\cdot$