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THÉORIE DE LA CHALEUR.

En effet si dans l’équation déterminée ${\frac {dv}{dx}}+hv=0$ on substitue la valeur de $v,$ on trouvera

$nx\cos .nx(hx-1)\sin .nx=0.$

Comme l’équation doit avoir lieu à la surface, on y supposera a $x=\mathrm {X}$ rayon de la sphère, ce qui donnera ${\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X} .$ Soit $\lambda$ le nombre $1-h\mathrm {X}$ et $n\mathrm {X} =\varepsilon ,$ on aura ${\frac {\varepsilon }{\mathrm {tang.} \varepsilon }}=\lambda .$ Il faut donc trouver un arc $\varepsilon$ qui, divisé par sa tangente donne un quotient connu $\lambda ,$ et l’on prendra $\textstyle n={\frac {\varepsilon }{\mathrm {X} }}.$ Il est visible qu’il y a une infinité de tels arcs, qui ont avec leur tangente un rapport donné ; en sorte que l’équation de condition ${\frac {n\mathrm {X} }{\mathrm {tang.} n\mathrm {X} }}=1-h\mathrm {X}$ a une infinité de racines réelles.

285.

Les constructions sont très-propres à faire connaître la nature de cette équation. Soit $u=\mathrm {tang.} \varepsilon$ (voy. fig. 12), l’équation d’une ligne dont l’arc $\varepsilon$ est l’abscisse, et $u$ l’ordonnée ; et soit $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }}$ l’équation d’une droite dont $\varepsilon$ et $u$ désignent aussi les coordonnées. Si on élimine $u$ avec ces deux équations, on a la proposée ${\frac {\varepsilon }{\lambda }}=\mathrm {tang.} \varepsilon .$ L’inconnue $\varepsilon$ est donc l’abscisse du point d’intersection de la courbe et de la droite. Cette ligne courbe est composée d’une infinité d’arcs ; toutes les ordonnées correspondantes aux abscisses ${\frac {1}{2}}\pi ,$ ${\frac {3}{2}}\pi ,$ ${\frac {5}{2}}\pi ,$ ${\frac {7}{2}}\pi ,$ etc. sont infinies, et toutes celles qui répondent aux points 0, $\pi ,$ $2\pi ,$ $3\pi ,$ $4\pi ,$ etc. sont nulles. Pour tracer la droite dont l’équation est $u={\frac {\varepsilon }{\lambda }}={\frac {\varepsilon }{1-h\mathrm {X} }},$ on forme le