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CHAPITRE IV.

${\begin{aligned}2\pi \varphi (x,t)=\int \!d\alpha \,f\alpha &+\left(2\sin .x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\sin .\alpha +2\cos .x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\cos .\alpha \right)e^{-kt}\\&+\left(2\sin .2x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\sin .2\alpha +2\cos .2x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\cos .2\alpha \right)e^{-2^{2}kt}\\&+\left(2\sin .3x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\sin .3\alpha +2\cos .3x\int \!d\alpha \,f\alpha \,\cos .3\alpha \right)e^{-3^{2}kt}\\&+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\mathrm {ou} \quad 2\pi \varphi (x,t)&=\int \!d\alpha \,f\alpha \left(1+\left(2\sin .x\sin .\alpha +2\cos .x\cos .\alpha \right)e^{-kt}\right.\\&\qquad \qquad +\left(2\sin .2x\sin .2\alpha +2\cos .2x\cos .2\alpha \right)e^{-2^{2}kt}\\&\qquad \qquad +\left(2\sin .3x\sin .3\alpha +2\cos .3x\cos .3\alpha \right)e^{-3^{2}kt}\\&\qquad \qquad +\left.\mathrm {etc.} \right)\\&=\int \!d\alpha \,f\alpha \left(1+2\sum \cos .i(\alpha -x)e^{-i^{2}kt}\right)\\\end{aligned}}$

Le signe $\textstyle \sum$ affecte le nombre $i$ et indique que la somme doit être prise de $i=1$ à $i={\tfrac {1}{0}}.$ On peut aussi comprendre le premier terme 1 sous ce signe $\textstyle \sum ,$ et l’on a

$2\pi \varphi (x,t)=\int d\alpha \,f\alpha \sum \limits _{-{\frac {1}{0}}}^{+{\frac {1}{0}}}\cos .i(\alpha -x)e^{-i^{2}kt}$

Il faut alors donner à $i$ toutes ses valeurs en nombres entiers depuis $-{\tfrac {1}{0}}$ jusqu’à $+{\tfrac {1}{0}}\,;$ c’est ce que l’on a indiqué en écrivant les limites $-{\tfrac {1}{0}}$ et $+{\tfrac {1}{0}}$ auprès du signe $\textstyle \sum ,$ l’une de ces valeurs de $i$ est 0. Telle est l’expression la plus concise de la solution. Pour développer le second membre de l’équation, on supposera $i=0$ et ensuite $i=1,2,3,4,$ etc. et l’on doublera chaque résultat excepté le premier qui