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CHAPITRE IV.

on écrira au lieu de $m,$ valeur de chaque masse infiniment, petite, l’élément $dx\,;$ au lieu du nombre $n$ des masses on mettra ${\frac {2\pi }{dx}},$ au lieu de $k$ on mettra $g{\frac {n}{2}}$ ou ${\frac {\pi g}{dx}}\cdot$

Quant aux températures initiales $a_{1},\,a_{2},\,a_{3},\,a_{4},\,a_{n},$ elles dépendent de la valeur de l’arc $x,$ et, en considérant ces températures comme les états successifs d’une même variable, la valeur générale $a_{i}$ représente une fonction arbitraire de $x.$ L’indice $i$ sera alors remplacé par ${\frac {x}{dx}}.$ À l’égard des quantités $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\alpha _{3},$ ces températures sont des variables qui dépendent des deux quantités $x$ et $t.$ En désignant par $v$ cette variable on aura $v=\varphi (x,t).$ L’indice $j$ qui marque la place que l’un des corps occupe sera remplacé par ${\frac {dx}{x}}.$ Ainsi pour appliquer l’analyse précédente au cas où l’on aurait une infinité de tranches, formant un corps continu dont la forme serait celle d’une armille, il faudra substituer aux quantités $n,$ $m,$ $k,$ $a_{i},$ $i,$ $\alpha _{i},$ $j$ celles qui leur correspondent, savoir : ${\frac {2\pi }{dx}},$ $dx,$ ${\frac {\pi g}{dx}},$ $fx,$ ${\frac {x}{dx}},$ $\varphi (x,t),$ ${\frac {x}{dx}}.$ On fera ces substitutions dans l’équation $(\varepsilon )$ art. 273 et l’on écrira ${\frac {1}{2}}dx^{2}$ au lieu de $\mathrm {sin.V} \,dx,$ et $i$ et $j$ au lieu de $i-1$ et $j-1.$ Le premier terme ${\frac {1}{n}}\mathrm {S} a_{i}$ devient la valeur de l’intégrale ${\frac {1}{\pi }}\textstyle \int fx\,dx$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=2\pi \,;$ la quantité $\textstyle \sin .(j-1){\dfrac {2\pi }{n}}$ devient $\sin .j\,dx$ ou $\sin .x\,;$ la valeur de $\textstyle \cos .(j-1){\dfrac {2\pi }{dx}}$ est $\cos .x\,;$ celle de ${\frac {2}{n}}\int a_{i}\sin .(i-1){\dfrac {2\pi }{n}}$ est ${\frac {2}{\pi }}\int fx\,\sin .x\,dx,$ l’intégrale étant prise depuis $x=0$ jus-