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CHAPITRE IV.

des produits terme à terme est nulle, toutes les fois que l’une des deux séries est formée de sinus, et lorsqu’elles le sont toutes les deux, mais la somme des produits est $n,$ si les deux séries composées sont formées de cosinus. En général, la somme des produits terme à terme est égale à 0 ou ${\tfrac {1}{2}}n$ ou $n\,;$ au reste, les formules connues conduiraient directement aux mêmes résultats. On les présente ici comme des conséquences évidentes des théorèmes élémentaires de la trigonométrie.

271.

Il est aisé d’effectuer au moyen île ces remarques l’élimination des inconnues dans les équations précédentes. L’indéterminée $\mathrm {A} _{1}$ disparaît d’elle-même comme ayant des coëfficients nuls ; pour trouver $\mathrm {B} _{1}$ on multipliera les deux membres de chaque équation par le coëfficient de $\mathrm {B} _{1}$ dans cette même équation, et l’on ajoutera toutes les équations ainsi multipliées, on trouvera $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots a_{n}=\mathrm {B} _{1}.$

Pour déterminer $\mathrm {A} _{2}$ on multipliera les deux membres de chaque équation par le coëfficient de $\mathrm {A} _{2}$ dans cette équation et en désignant l’arc ${\tfrac {2\pi }{n}}$ par $q,$ on aura, après avoir ajouté les équations

$a_{1}\sin .0.q+a_{2}\sin .1.q+a_{3}\sin .2.q+\dots a_{n}\sin .{\overline {n-1}}\,.q={\tfrac {1}{2}}n.\mathrm {A} _{2}.$

On aura pareillement pour déterminer $\mathrm {B} _{2}$

$a_{1}\cos .0.q+a_{2}\cos .1.q+a_{3}\cos .2.q+\dots a_{n}\cos .{\overline {n-1}}\,.q={\tfrac {1}{2}}n\,\mathrm {B} _{2}.$

En général, on trouvera chaque indéterminée en multipliant les deux membres de chaque équation par le coëffi-