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THÉORIE DE LA CHALEUR.

aura une valeur nulle, et qu’il en sera de même de la suite.

${\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}\cos .0{\overline {\mu +\nu }}\,q&+{\tfrac {1}{2}}\cos .1{\overline {\mu +\nu }}\,q+{\tfrac {1}{2}}\cos .2{\overline {\mu +\nu }}\,q\\&+{\tfrac {1}{2}}\cos .3{\overline {\mu +\nu }}\,q\dots +{\tfrac {1}{2}}\cos .\left({\overline {n-1}}.{\overline {\mu +\nu }}.q\right).\end{aligned}}$

En effet, en représentant l’arc ${\overline {\mu -\nu }}.q$ par $\alpha ,$ qui est par conséquent un multiple de ${\tfrac {2\pi }{n}},$ on aura la suite récurrente $\cos .0\alpha ,$ $\cos .1\alpha ,$ $\cos .2\alpha \dots$ $\cos .{\overline {n-1}}\,\alpha ,$ dont la somme est nulle. Pour le faire voir, on représentera cette somme par $s,$ et les deux termes de l’échelle de relation étant $2\cos .\alpha$ et $-1,$ on multipliera successivement les deux membres de l’équation

$s=\cos .0\alpha +\cos .1\alpha +\cos .2\alpha +\cos .3\alpha \dots +\cos .{\overline {n-1}}\,\alpha$

par $-2\cos .\alpha$ et par $+1,$ puis ajoutant les trois équations, on connaîtra que les termes intermédiaires se détruisent d’eux-mêmes d’après la nature de la série récurrente.

Si l’on remarque maintenant que $n\alpha$ étant un multiple de la circonférence entière, les quantités $\cos .{\overline {n-1}}\,\alpha \dots$ $\cos .{\overline {n-2}}\,\alpha \dots$ $\cos .{\overline {n-3}}\,\alpha \dots$ etc. sont respectivement les mêmes que celles que l’on désignerait par $\cos .(-\alpha )\dots$ $\cos .(-2\alpha )\dots$ $\cos .(-3\alpha )\dots$ on en conclura $2s-2s\cos .\alpha =0\,;$ ainsi la somme cherchée $s$ doit en général être nulle. On trouvera de même que la somme des termes dus au développement de ${\tfrac {1}{2}}\cos .\left(j\,{\overline {\mu +\nu }}\,q\right)$ est nulle. Il faut excepter le cas ou l’arc représenté par $\alpha$ serait nul, on aurait alors $1-\cos \alpha =1\,;$ c’est-à-dire, que les arcs $u$ et $v$ seraient les