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THÉORIE DE LA CHALEUR.

${\begin{aligned}\alpha _{n}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .{\overline {n-1}}.0.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{1}\cos .{\overline {n-1}}.0.{\frac {2\pi }{n}}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .0.{\frac {2\pi }{n}}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .{\overline {n-1}}.1.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{2}\cos .{\overline {n-1}}.1.{\frac {2\pi }{n}}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .1.{\frac {2\pi }{n}}}\\&+\left(\mathrm {A} _{3}\sin .{\overline {n-1}}.2.{\frac {2\pi }{n}}+\mathrm {B} _{3}\cos .{\overline {n-1}}.2.{\frac {2\pi }{n}}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .2.{\frac {2\pi }{n}}}\\&+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

Pour former ces équations, il faut continuer dans chacune la suite des termes qui contiennent

$\mathrm {sin.V} .0.{\frac {2\pi }{n}},\qquad \mathrm {sin.V} .1.{\frac {2\pi }{n}},\qquad \mathrm {sin.V} .2.{\frac {2\pi }{n}},\qquad \mathrm {etc.}$

jusqu’à ce qu’on ait épuisé tous les sinus verses différents, et omettre tous les termes subséquents, en commençant par celui où il entrerait un sinus verse égal à l’un des précédents. Le nombre des équations est $n.$ Si $n$ est un nombre pair égal à $2i,$ le nombre des termes de chaque équation est $i+1\,;$ si le nombre $n$ des équations est un nombre impair représenté par $2i+1,$ le nombre des termes est encore égal à $i+1.$ Enfin, parmi les quantités $\mathrm {A_{1}B_{1}} \;\mathrm {A_{2}B_{2}} \;\mathrm {A_{3}B_{3}}$ etc. qui entrent dans ces équations, il y en a qui doivent être omises et disparaissent d’elles-mêmes, comme multipliant des sinus nuls.

267.

Pour déterminer les quantités $\mathrm {A_{1}B_{1}}$ $\mathrm {A_{2}B_{2}}$ $\mathrm {A_{3}B_{3}}$ etc., qui entrent dans les équations précédentes, il faut considérer l’état initial qui est connu : on supposera $t=0,$ et l’on écrira au lieu de $\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\alpha _{3}$ etc., les quantités données $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}$ etc, qui sont les valeurs initiales des températures. On aura donc,