Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/342

310

THÉORIE DE LA CHALEUR.

On parviendra à un sinus verse, $\mathrm {sin.V} .\lambda .{\frac {2\pi }{n}}$ égal à l’un des précédents $\mathrm {sin.V} .\lambda '.{\frac {2\pi }{n}}.$ Les deux termes des équations qui contiendront ce même sinus verse, n’en formeront qu’un seul ; les deux arcs différents $u_{\lambda }$ et $u_{\lambda '}$ qui auront le même sinus verse, auront aussi le même cosinus, et les sinus ne différeront que par le signe. Il est aisé de voir que ces arcs $u_{\lambda }$ et $u_{\lambda '}$ qui ont le même sinus verse, sont tels que le cosinus d’un multiple quelconque de $u_{\lambda }$ est égal au cosinus d’un même multiple de $u_{\lambda '}$ et que le sinus d’un multiple quelconque de $u_{\lambda }$ ne diffère que par le signe du sinus du multiple de $u_{\lambda '}.$ Il suit de là que lorsqu’on réunit en un seul les deux termes correspondants de chacune des équations, les deux indéterminées $\mathrm {A} _{\lambda }$ et $\mathrm {A} _{\lambda '}$ qui entrent dans les équations, sont remplacées par une seule indéterminée, savoir : $\mathrm {A} _{\lambda }-\mathrm {A} _{\lambda '}.$ Quant aux deux indéterminées $\mathrm {B} _{\lambda }$ et $\mathrm {B} _{\lambda '},$ elles sont aussi remplacées par une seule, qui est $\mathrm {B} _{\lambda }+\mathrm {B} _{\lambda '}\,:$ il en résulte que le nombre des indéterminées est égal dans tous les cas, au nombre des équations ; car le nombre des termes est toujours $i+1.$ Il faut ajouter que l’indéterminée $\mathrm {A}$ disparaît d’elle-même dans tous les premiers termes, parce qu’elle multiplie le sinus d’un arc nul. De plus, lorsque le nombre $n$ est pair, il se trouve à la fin de chaque équation un terme dans lequel une des indéterminées disparaît d’elle-même, parce qu’elle y multiplie un sinus nul ; ainsi le nombre des inconnues qui entrent dans les équa-