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CHAPITRE IV.

${\begin{aligned}\alpha _{3}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .2.u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .2.u_{1}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{1}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .2.u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .2.u_{2}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{2}}\\&+\left(\mathrm {A} _{3}\sin .2.u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .2.u_{3}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\alpha _{n}&=\left(\mathrm {A} _{1}\sin .{\overline {n-1}}.u_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .{\overline {n-1}}.u_{1}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{1}}\\&+\left(\mathrm {A} _{2}\sin .{\overline {n-1}}.u_{2}+\mathrm {B} _{2}\cos .{\overline {n-1}}.u_{2}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{2}}\\&+\left(\mathrm {A} _{3}\sin .{\overline {n-1}}.u_{3}+\mathrm {B} _{3}\cos .{\overline {n-1}}.u_{3}\right)\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u_{3}}+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

265.

Si l’on suppose le temps nul, les valeurs $\alpha _{1}\,\alpha _{2}\,\alpha _{3}\dots \,\alpha _{n}$ doivent se confondre avec les valeurs initiales $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\dots \,a_{n}.$ On tire de là un nombre $n$ d’équations qui doivent servir à déterminer les coëfficients $\mathrm {A_{1}B_{1}}$ $\mathrm {A_{2}B_{2}}$ $\mathrm {A_{3}B_{3}} .$ On reconnaîtra facilement que le nombre des inconnues est toujours égal à celui des équations. En effet, le nombre des termes qui entrent dans la valeur de chacune des variables, dépend du nombre des quantités différentes $\mathrm {sin.V} u_{1}\;\mathrm {sin.V} u_{2}\;\mathrm {sin.V} u_{3}\dots$ etc., qu’on trouve en divisant la circonférence $2\pi$ en un nombre $n$ de parties égales. Or, le nombre des quantités $\mathrm {sin.V} .0.2.{\frac {\pi }{n}},$ $\mathrm {sin.V} .1.2.{\frac {\pi }{n}},$ $\mathrm {sin.V} .2.2.{\frac {\pi }{n}}\dots$ etc., est beaucoup moindre que $n,$ si l’on ne compte que celles qui sont différentes. En désignant le nombre $n$ par $2i+1,$ s’il est impair, et par $2i,$ s’il est pair, $i+1$ désignera toujours le nombre des sinus verses différents. D’un autre côté lorsque dans la suite des quantités

$\mathrm {sin.V} .0.2{\frac {\pi }{n}},\qquad \mathrm {sin.V} .1.2{\frac {\pi }{n}},\qquad \mathrm {sin.V} .2.2{\frac {\pi }{n}},\qquad \mathrm {etc.}$