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THÉORIE DE LA CHALEUR.

circonférence partagée en un nombre $n$ de parties égales. Ces quantités $\cos .0u,$ $\cos .1u,$ $\cos .2u\dots$ $\cos .{\overline {n-1}}\,u$ dans lesquelles $u$ désigne l’arc. $2{\frac {\pi }{n}}$ forment aussi une série récurrente dont l’échelle de relation a les deux termes $2\cos .u$ et $-1,$ c’est pourquoi l’on pourrait prendre pour satisfaire aux équations différentielles, les équations suivantes :

${\begin{aligned}\alpha _{1}&=\cos .0.u\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\\alpha _{2}&=\cos .1.u\,e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\\alpha _{3}&=\cos .2u.e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}\\\vdots &\\\alpha _{n}&=\cos .{\overline {n-1}}\,u.e^{-2{\frac {k}{m}}\,t\,\mathrm {sin.V} .u}.\\\end{aligned}}$

Indépendamment des deux solutions précédentes, on pourrait choisir pour les valeurs de $b_{1}\,b_{2}\,b_{3}\dots \,b_{n}$ les quantités

$\sin .0.2u,\;\sin .1.2u,\;\sin .2.2u,\;\sin .3.2u\dots \,\sin .{\overline {n-1}}.2u.$

ou celles-ci ,

$\cos .0.2u,\;\cos .1.2u,\;\cos .2.2u,\;\cos .3.2u\dots \,\cos .{\overline {n-1}}.2u.$

En effet, chacune de ces séries est récurrente et formée de $n$ termes ; l’échelle de relation a les deux termes $2\cos .2u$ et $-1\,;$ et, si l’on continuait la série au-delà de $n$ termes, on en trouverait $n$ autres, qui seraient respectivement égaux aux $n$ précédents. En général, si l’on désigne par $u_{1}$ $u_{2}$ $u_{3}\dots$ $u_{i}\dots$ $u_{n}$ les arcs $0.2{\frac {\pi }{n}},$ $1.{\frac {2\pi }{n}},$ $2.{\frac {2\pi }{n}},$ $3.{\frac {2\pi }{n}},$ $\dots (n-1){\frac {2\pi }{n}}$ etc., on pourra