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CHAPITRE IV.

a, comme on le verra plus bas, toutes ses racines réelles. Les coëfficients de la première équation $a_{1}\,a'_{1}\,a''_{1}\,a'''_{1},$ etc. sont arbitraires ; quant aux coëfficients des lignes inférieures, ils sont déterminés par un nombre $n$ de systèmes d’équations semblables aux équations précédentes. Il s’agit maintenant de former ces équations.

253.

Écrivant la lettre $q$ au lieu de ${\frac {hm}{k}},$ on aura les équations suivantes :

${\begin{aligned}a_{0}&=a_{0}\\a_{1}&=a_{1}\\a_{2}&=a_{1}(q+2)-a_{0}\\a_{3}&=a_{2}(q+2)-a_{1}\\\vdots &\\a_{n+1}&=a_{n}(q+2)-a_{n-1}\\\end{aligned}}$

On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l’échelle de relation a les deux termes $(q+2)$ et $-1.$ On pourra donc exprimer le terme général $a_{m}$ par l’équation $a_{m}=\mathrm {A} \sin .mu+\mathrm {B} \sin .{\overline {m-1}}u,$ en déterminant convenablement les quantités $\mathrm {A} ,$ $\mathrm {B}$ et $u.$ On trouvera d’abord $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ en supposant $m$ égal à 0 et ensuite égal à 1, ce qui donne $a_{0}=\mathrm {B} \sin .u,$ et $a_{1}=\mathrm {A} \sin .u,$ et parconséquent $a_{m}=a_{1}\sin .mu-{\frac {a_{1}}{\sin .u}}\sin .{\overline {m-1}}\,u.$ En substituant ensuite les valeurs de $a_{m}\;a_{m-1}\;a_{m-2},$ etc. dans l’équation générale $a_{m}=a_{m-1}(q+2)-a_{m-2}\,;$ on trouvera

$\sin .mu=(q+2)\sin .(m-1)u-\sin .(m-2)u,$