Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/317

285

CHAPITRE IV.

temps étant divisé en intervalles égaux, la quantité infiniment petite $\omega$ pourra être remplacée par $k\,dt,$ $k$ étant le nombre des unités de masse dont la somme contient $\omega$ autant de fois que l’unité de temps contient $dt,$ en sorte que l’on a ${\frac {\mathrm {K} }{\omega }}={\frac {1}{dt}}.$ On obtient ainsi les équations

$d\alpha =-(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt\qquad \mathrm {et} \;\mathrm {de} \qquad d\beta =(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}dt.$

248.

Si l’on attribuait une plus grande valeur au volume $\omega$ qui sert, pour ainsi dire, à puiser la chaleur de l’un des corps pour la porter à l’autre, la transmission serait plus prompte ; il faudrait, pour exprimer cette condition augmenter dans la même raison la valeur de $\mathrm {K}$ qui entre dans les équations. On pourrait aussi conserver la valeur de $\omega$ et supposer que cette tranche accomplit dans un temps donné un plus grand nombre d’oscillations, ce qui serait encore indiqué par une plus grande valeur de $\mathrm {K} .$ Ainsi ce coëfficient représente en quelque sorte la vitesse de la transmission, ou la facilité avec laquelle la chaleur passe de l’un des corps dans l’autre , c’est-à-dire leur conducibilité réciproque.

249.

En ajoutant les deux équations précédentes, on a $d\alpha +d\beta =0,$ et si l’on retranche l’une des équations de l’autre, on a $d\alpha -d\beta +2(\alpha -\beta ){\frac {\mathrm {K} }{m}}\,dt=0,$ et, faisant $\alpha -\beta =y,$ $dy+2{\frac {\mathrm {K} }{m}}y\,dt=0.$ Intégrant et déterminant la constante par la condition que la valeur initiale soit $a-b,$ on a $y=(a-b)e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t}.$ La différence $y$ des tem-