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THÉORIE DE LA CHALEUR.

on pourra donc tirer, par rapport à chaque terme, des conséquences analogues aux précédentes. En effet, désignant par $\mathrm {X}$ la distance pour laquelle le coëfficient

$a_{i}\sin .i{\frac {x}{r}}+b_{i}\cos .i{\frac {x}{r}}$

est nul, on aura l’équation $b_{i}=-a_{i}\mathrm {tang.} i{\frac {\mathrm {X} }{r}},$ et cette substitution donne, pour la valeur du coëfficient,

$a\sin .i\left({\frac {x-\mathrm {X} }{r}}\right),$

$a$ étant une constante. Il suit de là qu’en prenant pour l’origine des coordonnées le point dont l’abscisse était $\mathrm {X} ,$ et désignant par $u$ la nouvelle abscisse $x-\mathrm {X} ,$ on aura pour exprimer les changements de cette partie de la valeur de $v$ la fonction $a\,e^{-ht}\sin .{\frac {u}{r}}\,e^{-{\frac {kt}{r^{2}}}}.$

Si cette même partie de la valeur de $v$ subsistait seule en sorte que les coëfficients de toutes les autres fussent nuls, l’état de l’anneau serait représenté par la fonction

$a\,e^{-ht}\,e^{-i^{2}{\frac {kt}{r^{2}}}}\sin .\left(i.{\frac {u}{r}}\right)$

et la température de chaque point serait proportionnelle au sinus du multiple $i$ de la distance de ce point à l’origine. Cet état est analogue à celui que nous avons décrit précédemment, il en diffère en ce que le nombre des points qui ont une même température toujours égale à la température moyenne de l’anneau n’est pas seulement 2, mais en général égal à $2i.$ Chacun de ces points ou nœuds sépare deux