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CHAPITRE IV.

244.

1^o Si l’on suppose $k$ infini, l’état de l’anneau sera exprimé ainsi $\pi rv=e^{-ht}\,{\tfrac {1}{2}}\int fx\,dx,$ ou désignant par $\mathrm {M}$ la température moyenne initiale $v=e^{-ht}\mathrm {M} .$ La température d’un point quelconque deviendra subitement égale à la température moyenne et les différents points conserveront toujours des températures égales, ce qui est une conséquence nécessaire de l’hypothèse où l’on admet une conducibilité infinie.

2^o On aura le même résultat si le rayon $r$ de l’anneau est infiniment petit.

3^o Pour trouver la température moyenne de l’anneau après un temps $t$ il faut prendre l’intégrale $\textstyle \int fx\,dx$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=2\pi r,$ et diviser par $x=2\pi r.$ En intégrant entre ces limites les différentes parties de la valeur de $u,$ et supposant ensuite $x=2\pi r,$ on trouvera que les valeurs totales des intégrales sont nulles excepté pour le premier terme ; la température moyenne a donc pour valeur, après le temps $t,$ la quantité $e^{-ht}\mathrm {M} .$ Ainsi, la température moyenne de l’anneau décroît de la même manière que si la conducibilité était infinie, les variations occasionnées par la propagation de la chaleur dans ce solide n’influent point sur la valeur de cette température.

Dans les trois cas que nous venons de considérer la température décroît proportionnellement aux puissances de la fraction $e^{-h},$ ou, ce qui est la même chose, à l’ordonnée d’une courbe logarithmique, l’abscisse étant égale au temps écoulé. Cette loi est connue depuis long-temps, mais il faut