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THÉORIE DE LA CHALEUR.

243.

Pour faire une seconde application de l’équation générale (E) nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée, qu’une moitié de l’anneau comprise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi$ a dans tous ses points la température 1 et que l’autre partie a la température 0. Il s’agit de déterminer l’état de l’anneau après un temps écoulé $t.$

La fonction $fx$ qui représente l’état initial est telle dans ce cas que sa valeur est 1 toutes les fois que la variable est comprise entre 0 et $\pi .$ Il en résulte que l’on doit supposer $fx=1$ et ne prendre les intégrales que depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ les autres parties des intégrales sont nulles d’après l’hypothèse. On obtiendra d’abord l’équation suivante qui donne le développement de la fonction proposée dont la valeur est 1 depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi$ et nulle depuis $x=\pi$ jusqu’à a $x=2\pi$

$fx={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{\pi }}\left(\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+\sin .x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+\sin .x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+\mathrm {etc.} \right)$

Si maintenant on substitue dans l’équation générale les valeurs qu’on vient de trouver pour les coëfficients constants, on aura l’équation

${\frac {1}{2}}\pi v=e^{-ht}\left({\frac {1}{4}}\pi +\sin .xe^{-kt}+{\frac {1}{3}}\sin .3xe^{-3^{2}kt}+{\frac {1}{5}}\sin .5xe^{-5^{2}kt}+\mathrm {etc.} \right)$

qui exprime la loi suivant laquelle varie la température à chaque point de l’anneau, et fait connaître son état après un terme donné, nous nous bornerons aux deux applications précédentes, et nous ajouterons seulement quelques observations sur la solution générale exprimée par l’équation (E)