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CHAPITRE III.

237.

En supposant dans l’équation précédente $\pi =r,$ on aura la même solution sous une forme plus simple, savoir :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi v=e^{-{y}}\sin .x&\int fx\sin .x\,dx+e^{-2{y}}\sin .2x\int fx\sin .2x\,dx\\&+e^{-3{y}}\sin .3x\int fx\sin .3x\,dx+\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {a}})\quad \mathrm {ou} \\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi v=\int \limits _{0}^{\pi }f\alpha \,d\alpha \left(e^{-{y}}\sin .x\,\sin .\alpha \right.&+e^{-2{y}}\sin .2x\,\sin .2\alpha \\&+\left.e^{-3{y}}\sin .3x\,\sin .3\alpha +\mathrm {etc.} \right)\,;\\\end{aligned}}$

$\alpha$ est une nouvelle variable qui disparaît après l’intégration. Si l’on détermine la somme de cette série ; et si l’on en fait la substitution dans la dernière équation, on aura la valeur de $v$ sous une forme finie. Le double de la série équivaut à

${\begin{aligned}e^{-y}\left(\cos .{\overline {x-\alpha }}-\right.&\left.\cos .{\overline {x+\alpha }}\right)+e^{-2y}\left(\cos .2\,{\overline {x-\alpha }}-\cos .2\,{\overline {x+\alpha }}\right)\\&+e^{-3y}\left(\cos .3\,{\overline {x-\alpha }}-\cos .3\,{\overline {x+\alpha }}\right)+\mathrm {etc.} \\\end{aligned}}$

désignant par $\mathrm {F} (y,p)$ la somme de la série infinie

$e^{-y}\cos .p+e^{-2y}\cos .2p+e^{-3y}\cos .3p+e^{-4y}\cos .4p+\mathrm {etc.}$

on en conclura

$\pi v=\int \limits _{0}^{\pi }\mathrm {F} \alpha \,d\alpha \left(\mathrm {F} (y,x-\alpha )-\mathrm {F} (y,x+\alpha )\right).$