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CHAPITRE III.

Si l’on suppose dans l’équation $(p)$ que la fonction $\mathrm {F} x$ est représentée, dans l’intervalle de $-\pi$ à $+\pi ,$ par une ligne composée de deux arcs égaux symétriquement placés, tous les termes qui contiennent les sinus s’évanouiront, et l’on trouvera l’équation $(m).$ Si au contraire la ligne qui représente la fonction donnée $\mathrm {F} x$ est formée de deux arcs égaux de situation opposée, tous les termes qui ne contiennent point les sinus disparaissent, et l’on trouve l’équation $(n).$ En assujétissant la fonction $\mathrm {F} x$ à d’autres conditions, on trouverait d’autres résultats.

On écrira dans l’équation générale $(p),$ au lieu de la variable $x,$ la quantité $\pi {\frac {x}{r}},$ $x$ désignant une autre variable, et $2r$ la longueur de l’intervalle dans lequel est placé l’arc qui représente $\mathrm {F} x\,;$ cette fonction sera $\mathrm {F} \left(\pi {\frac {x}{r}}\right),$ que nous désignerons par $fx.$ Les limites qui étaient $x=-\pi$ et $x=\pi$ deviendront $\pi {\frac {x}{r}}=-\pi ,$ $\pi {\frac {x}{r}}=\pi \,;$ on aura donc, après la substitution

$rfx={\frac {1}{2}}\int \limits _{-r}^{+r}fx\,dx{\begin{array}{r}\displaystyle +\cos .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\cos .\left({\frac {\pi x}{r}}\right)dx+\cos .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\cos .\left({\frac {2\pi x}{r}}\right)dx+\mathrm {etc.} \\({\boldsymbol {\mathrm {P} }})\\\displaystyle +\,\sin .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\left({\frac {\pi x}{r}}\right)dx\,+\,\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\sin .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)dx+\mathrm {etc.} \\\end{array}}$

toutes les intégrales doivent être prises comme la première, de $x=-r$ à $x=+r.$ Si l’on fait la même substitution dans les équations $(n)$ et $(m),$ on aura

${\begin{array}{r}\displaystyle {\frac {1}{2}}rfx=\int \limits _{0}^{r}fx\,dx+\cos .\left(\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\cos .\left({\frac {\pi x}{r}}\right)dx+\cos .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)\!\int \!fx\cos .\left(2\pi {\frac {x}{r}}\right)dx+\mathrm {etc.} \\({\boldsymbol {\mathrm {N} }})\\\end{array}}$