clairement les cas où elles représentent l’intégrale générale de ceux où elles n’en comprennent qu’une partie. Il était nécessaire sur-tout d’assigner les valeurs des constantes, et c’est dans la recherche des coëfficients que consiste la difficulté de l’application. Il est remarquable que l’on puisse exprimer par des séries convergentes, et, comme on le verra dans la suite, par des intégrales définies, les ordonnées des lignes et des surfaces qui ne sont point assujéties à une loi continue. On voit par-là qu’il est nécessaire d’admettre dans l’analyse des fonctions qui ont des valeurs égales, toutes les fois que la variable reçoit des valeurs quelconques comprises entre deux limites données, tandis qu’en substituant dans ces deux fonctions, au lieu de la variable, un nombre compris dans un autre intervalle les résultats des deux substitutions ne sont point les mêmes. Les fonctions qui jouissent de cette propriété sont représentées par des lignes différentes, qui ne coïncident que dans une portion déterminée de leur cours, et offrent une espèce singulière d’osculation finie. Ces considérations prennent leur origine dans le calcul des équations aux différences partielles ; elles jettent un nouveau jour sur ce calcul, et serviront à en faciliter l’usage dans les théories physiques.
231.
Les deux équations générales qui expriment le développement d’une fonction quelconque en cosinus ou en sinus d’arcs multiples donnent lieu à plusieurs remarques qui font connaître le véritable sens de ces théorèmes, et en dirigent l’application.
Si dans la série
