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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Le second membre est représenté par une ligne composée d’arcs paraboliques et de lignes droites.

228.

On pourra trouver de la même manière le développement d’une fonction de $x$ qui exprime l’ordonnée du contour d’un trapèze. Supposons que $\varphi x$ soit égale à $x$ depuis $x=0$ jusqu’à $x=\alpha$, que cette fonction soit égale à $\alpha$ depuis $x=\alpha$ jusqu’à $x=\pi -\alpha$, et enfin égale à $\pi -x$ depuis $x=\pi -\alpha$ jusqu’à $x=\pi .$ Pour la réduire en une série de sinus d’arcs multiples, on se servira de l’équation générale (m). Le terme général $\textstyle \int \varphi x\sin .ix.dx$ sera composé de trois parties différentes, et l’on aura, après les réductions, ${\tfrac {2}{i^{2}}}\sin .(i\alpha )$ pour le coëfficient de $\sin .ix$, lorsque $i$ est un nombre impair ; et zéro pour ce coëfficient, lorsque $i$ est un nombre pair. On parvient ainsi à l’équation :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=2\left\{\sin .\alpha \,\sin .x+{\frac {1}{3^{2}}}\right.&\sin .3\alpha \,\sin .3x+{\frac {1}{5^{2}}}\sin .5\alpha \,\sin .5x\\&\left.\quad +{\frac {1}{7^{2}}}\sin .7\alpha \,\sin .7x+\mathrm {etc.} \right\}\qquad ({\boldsymbol {\mu }})\\\end{aligned}}$

Si l’on supposait $\alpha ={\tfrac {1}{2}}\pi$, le trapèze se confondrait avec le triangle isoscèle, et l’on aurait, comme précédemment, pour l’équation du contour de ce triangle :

${\frac {1}{2}}\pi \,\varphi x=2\left(\sin .x+{\frac {1}{3^{2}}}\sin .3x+{\frac {1}{5^{2}}}\sin .5x+{\frac {1}{7^{2}}}\sin .7x+\mathrm {etc.} \right)$

série qui est toujours convergente quelle que soit la valeur de $x$. En général les suites trigonométriques auxquelles nous sommes parvenus, en développant les diverses fonctions, sont toujours convergentes : mais il ne nous a point paru