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THÉORIE DE LA CHALEUR.

clura la valeur de $a,$ qui est ${\frac {\mathrm {S} (\varphi x.\sin .ix.dx)}{{\frac {1}{2}}\pi }}.$ Tout se réduit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre, et à démontrer les deux propositions précédentes. L’intégrale $2\mathrm {S} (\sin .jx.\sin .ix.dx),$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi ,$ et dans laquelle $i$ et $j$ sont des nombres entiers, est

${\frac {1}{i-j}}\sin .\left({\overline {i-j}}.x\right)-{\frac {1}{i+j}}\sin .\left({\overline {i+j}}\,x\right)+\mathrm {C} .$

L’intégrale devant commencer lorsque $x=0,$ la constante $\mathrm {C}$ est nulle, et les nombres $i$ et $j$ étant entiers, la valeur de l’intégrale deviendra nulle lorsqu’on fera $x=\pi \,;$ il s’ensuit que chacun des termes tels que

$a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\,\sin .ix.dx),\;a_{2}\mathrm {S} (\sin .2x\,\sin .ix.dx),\;a_{3}\mathrm {S} (\sin .3x\,\sin .ix.dx)\;\mathrm {etc.}$

s’évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres $i$ et $j$ seront différents. Il n’en est pas de même lorsque les nombres $i$ et $j$ sont égaux, car le terme ${\frac {1}{i-j}}\sin \left({\overline {i-j}}\,x\right)$ auquel se réduit l’intégrale, devient ${\tfrac {0}{0}},$ et sa valeur est $\pi .$ On a par conséquent $2\mathrm {S} (\sin .ix.\sin .ix.dx)=\pi \,;$ on obtient ainsi de la manière la plus briève, les valeurs de $a_{1}\,a_{2}\,a_{3}\,a_{4}\dots a_{i}$ etc. qui sont :

${\begin{aligned}{}&a_{1}={\frac {\mathrm {S} (\varphi x.\sin .x.dx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\quad a_{2}={\frac {\mathrm {S} (\varphi x.\sin .2x.dx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\\&\qquad \qquad \qquad a_{3}={\frac {\mathrm {S} (\varphi x.\sin .3x.dx)}{{\frac {1}{2}}\pi }}\dots \quad a_{i}={\frac {\mathrm {S} (\varphi x.\sin .ix.dx)}{{\frac {1}{2}}\pi }}\cdot \end{aligned}}$

En les substituant on a