remarque est importante, en ce qu’elle fait connaître comment les fonctions entièrement arbitraires peuvent aussi être développées en séries de sinus d’arcs multiples. En effet, si la fonction est représentée par l’ordonnée variable d’une courbe quelconque dont l’abscisse s’étend depuis jusqu’à et si l’on construit sur cette même partie de l’axe la courbe trigonométrique connue, dont l’ordonnée est il sera facile de se représenter la valeur d’un terme intégral. Il faut concevoir que pour chaque abscisse à laquelle répond une valeur de et une valeur de on multiplie cette dernière valeur par la première, et qu’au même point de l’axe on élève une ordonnée proportionnelle au produit On formera, par cette opération continuelle, une troisième courbe, dont les ordonnées sont celles de la courbe trigonométrique, réduite proportionnellement aux ordonnées de la courbe arbitraire qui représente Cela posé, l’aire de la courbe réduite étant prise depuis jusqu’à donnera la valeur exacte du coëfficient de et quelle que puisse être la courbe donnée qui répond à soit qu’on puisse lui assigner une équation analytique, soit qu’elle ne dépende d’aucune loi régulière, il est évident qu’elle servira toujours à réduire d’une manière quelconque la courbe trigonométrique ; en sorte que l’aire de la courbe réduite a, dans tous les cas possibles, une valeur déterminée qui donne celle du coëfficient de dans le développement de la fonction. Il en est de même du coëfficient suivant ou
Il faut en général, pour construire les valeurs des coëfficients etc., imaginer que les courbes, dont les équations sont
