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CHAPITRE III.

en remarquant que la fonction $\varphi x$ ne contient que des puissances impaires de la variable et en prenant l’intégrale depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$

On en conclut immédiatement que ce terme équivaut à

$\pm \left(\varphi \pi -\varphi ^{II}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{2}}}+\varphi ^{IV}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{4}}}-\varphi ^{VI}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{6}}}+\varphi ^{VIII}\pi \!\cdot \!{\frac {1}{n^{8}}}+\mathrm {etc.} \right).$

Si l’on substitue cette valeur de ${\frac {s}{n}}$ dans l’équation (B), en prenant le signe $+$ lorsque le terme de cette équation est de rang impair, et le signe $-$ lorsque $n$ est pair ; on aura en général $\mathrm {S} (\varphi x.\sin .nx.dx)$ pour le coëfficient de $\sin .nx\,;$ on parvient de cette manière à un résultat très-remarquable exprimé par l’équation suivante :

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x\,\mathrm {S} (\sin .x.\varphi x.dx)+\sin .2x\,\mathrm {S} (\sin .2x.\varphi x\,dx)&\\\quad +\sin .3x\,\mathrm {S} (\sin .3x.\varphi x\,dx)\dots +\sin .ix\,\mathrm {S} (\sin .ix.\varphi x\,dx)&+\mathrm {etc.} \,;\\&(\mathbf {D} )\\\end{aligned}}$

le second membre donnera toujours le développement cherché de la fonction $\varphi x,$ si l’on effectue les intégrations depuis $x=0$ jusqu’à $x=\pi .$

220.

On voit par-là que les coëfficients $a\,b\,c\,d\,e\,f\dots$ etc., qui entrent dans l’équation

${\frac {1}{2}}\pi \varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\mathrm {etc.}$

et que nous avons trouvés précédemment par la voie des éliminations successives, sont des valeurs intégrales définies exprimées par le terme général $\mathrm {S} (\sin .ix.\varphi x\,dx),$ $i$ étant le numéro du terme dont on cherche le coëfficient. Cette