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CHAPITRE III.

quantités $\mathrm {A} ,\,\mathrm {B} ,\,\mathrm {C} ,\,\mathrm {D} ,\,\mathrm {E} ,$ etc. avec un indice infini, et ces quantités sont connues ; elles sont les mêmes que celles qui entrent dans les équations $(a).$

En divisant cette dernière valeur de $\mathrm {A} _{1}$ par le produit infini

$2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}.6^{2}.\dots .\;\mathrm {etc.} ,$

on a

${\begin{array}{l}\mathrm {A} -\mathrm {B} \left({\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac {1}{3^{2}}}+{\tfrac {1}{4^{2}}}+{\tfrac {1}{5^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)+\mathrm {C} \left({\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}.4^{2}}}+{\tfrac {1}{3^{2}.4^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\mathrm {D} \left({\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}.5^{2}}}+{\tfrac {1}{3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\mathrm {E} \left({\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+{\tfrac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.6^{2}}}+\mathrm {etc.} \right)\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad +\mathrm {etc.} \\\end{array}}$

Les coëfficients numériques sont les sommes des produits que l’on formerait par les diverses combinaisons des fractions ${\tfrac {1}{1^{2}}}$ ${\tfrac {1}{2^{2}}}$ ${\tfrac {1}{3^{2}}}$ ${\tfrac {1}{4^{2}}}$ ${\tfrac {1}{5^{2}}}$ ${\tfrac {1}{6^{2}}}.\dots .$ et, après avoir séparé la première fraction ${\tfrac {1}{1^{2}}}$. Si l’on représente ces différentes sommes de produits par $\mathrm {P} _{1}\,\mathrm {Q} _{1}\,\mathrm {R} _{1}\,\mathrm {S} _{1}\,\mathrm {T} _{1}\dots$ etc., et si l’on emploie la première des équations $(e)$ et la première des équations $(b),$ on aura, pour exprimer la valeur du premier coëfficient $a,$ l’équation

$a{\tfrac {(2^{2}-1)(3^{2}-1)(4^{2}-1)(5^{2}-1)\dots }{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}\dots }}\!=\!\mathrm {A} \!-\!\mathrm {BP} _{1}\!+\!\mathrm {CQ} _{1}\!-\!\mathrm {DR} _{1}\!+\!\mathrm {ES} _{1}\!-\!\mathrm {FT} _{1}\!+\!\mathrm {etc.} \;;$

or les quantités $\mathrm {P} _{1}\,\mathrm {Q} _{1}\,\mathrm {R} _{1}\,\mathrm {S} _{1}\,\mathrm {T} _{1}\dots$ etc., peuvent être facilement déterminées comme on le verra plus bas ; donc le premier coëfficient $a$ sera entièrement connu.