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THÉORIE DE LA CHALEUR.

et, comme les températures sont permanentes, le produit du flux, pendant l’unité de temps, est $-k{\frac {dv}{dx}}dy.$ On intégrera cette expression entre les limites $y=-{\tfrac {1}{2}}\pi$ et $y=+{\tfrac {1}{2}}\pi ,$ afin de connaître la quantité totale qui traverse la base, ou, ce qui est la même chose, on intégrera depuis $y=0$ jusqu’à $y={\tfrac {1}{2}}\pi ,$ et l’on prendra le double de la somme. La quantité ${\frac {dv}{dx}}$ est une fonction de $x$ et $y,$ dans laquelle on doit faire $x=0,$ afin que le calcul se rapporte à la base A, qui coïncide avec l’axe des $y.$ La dépense de la source de chaleur a donc pour expression $2\int \left(-k{\frac {dv}{dx}}\cdot dy\right).$ L’intégrale doit être prise depuis $y=0$ jusqu’à $y={\tfrac {1}{2}}\pi \,;$ si dans la fonction ${\frac {dv}{dx}}$ on ne suppose point $x=0,$ mais $x=x,$ l’intégrale sera une fonction de $x$ qui fera connaître combien il s’écoule de chaleur pendant l’unité de temps à travers une arête transversale placée à la distance $x$ de l’origine.

193.

Si l’on veut connaître la quantité de chaleur qui, pendant l’unité de temps, pénètre au-delà d’une ligne tracée sur la lame parallèlement aux arêtes B et C, on se servira de l’expression $-k{\frac {dv}{dy}},$ et, la multipliant par l’élément $dx$ de la ligne tracée, on intégrera par rapport à $x$ entre les termes donnés de la ligne ; ainsi l’intégrale $\int \left(-k{\frac {dv}{dy}}\cdot dx\right)$ fera connaître combien il s’écoule de chaleur à travers toute