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CHAPITRE III.

excède toutes les limites possibles, d’où il suit que le même raisonnement ne peut s’appliquer au cas où l’arc $x$ n’est pas moindre que ${\tfrac {1}{2}}\pi .$

On fera usage de la même analyse pour les séries qui expriment les valeurs de ${\tfrac {1}{2}}x,$ $\log .\cos .x,$ et l’on pourra distinguer par ce moyen les limites entre lesquelles la variable doit être comprise, pour que le résultat du calcul soit exempt de toute incertitude ; au reste, ces mêmes questions seront traitées ailleurs par une méthode l’ondée sur d’autres principes.

189.

L’expression de la loi des températures fixes, dans une lame solide, suppose la connaissance de l’équation

${\frac {\pi }{4}}=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+{\frac {1}{9}}\cos .9x-\mathrm {etc.}$

Voici le moyen le plus simple d’obtenir cette équation :

Si la somme de deux arcs équivaut au quart de la circonférence ${\tfrac {1}{2}}\pi$, le produit de leurs tangentes est 1, on a donc en général ${\tfrac {1}{2}}\pi =\mathrm {arc.tang.} u+\mathrm {arc.tang.} {\frac {1}{u}}\;\;({\boldsymbol {c}})\;;$ le signe $\mathrm {arc.tang.} u$ indique la longueur de l’arc dont la tangente est $u,$ et l’on connaît depuis long-temps la série qui donne la valeur de cet arc ; on aura donc le résultat suivant :

${\begin{array}{r}{\dfrac {1}{2}}\pi =u+{\dfrac {1}{u}}-{\dfrac {1}{3}}\left(u^{3}+{\dfrac {1}{u^{3}}}\right)+{\dfrac {1}{5}}\left(u^{5}+{\dfrac {1}{u^{5}}}\right)-{\dfrac {1}{7}}\left(u^{7}+{\dfrac {1}{u^{7}}}\right)\\+{\dfrac {1}{9}}\left(u^{9}+{\dfrac {1}{u^{9}}}\right)-\mathrm {etc.} \quad ({\boldsymbol {d}})\\\end{array}}$