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CHAPITRE III.

donc supposer qu’on emploie les premiers termes seulement de ces suites et trouver les limites entre lesquelles le reste est compris.

Nous appliquerons cette remarque à l’équation

${\begin{aligned}y=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x\dots +{\frac {\cos .{\overline {2m-3}}\,x}{2m-3}}&\\-{\frac {\cos .{\overline {2m-1}}\,x}{2m-1}}&.\\\end{aligned}}$

le nombre des termes est pair et représenté par $m$ ; on en déduit que cette équation $2{\frac {dy}{dx}}={\frac {\sin .2mx}{\cos .x}},$ d'où l’on peut tirer la valeur de $y$, en intégrant par parties. Or, l’intégrale $\textstyle \int u.v\,dx$ peut être résolue en une série composée d’autant de termes qu’on le voudra, $u$ et $v$ étant des fonctions de $x$. On peut écrire, par exemple :

${\begin{aligned}{}\int u.v\,dx=c+u\int v\,dx-{\frac {du}{dx}}&\int dx\int v\,dx+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\int dx\int dx\int v\,dx\\&-\int \left(d\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)\int dx\int dx\int v\,dx\right),\end{aligned}}$

équation qui se vérifie d’elle-même par la différentiation.

En désignant $\sin .2mx$ par $v$ et $\sec .x$ par $u$, on trouvera

${\begin{aligned}2y&=c-{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx\\&+{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\sec .''x\cos .2mx-\int \left(d{\frac {\sec .''x}{2^{3}m^{3}}}.\cos .2mx\right)\cdot \end{aligned}}$

186.

Il s’agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est comprise l’intégrale $\textstyle {\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\int \left(d(\sec .'')\cos .2mx\right)$ qui com-