Page:Fourier - Théorie analytique de la chaleur, 1822.djvu/215

183

CHAPITRE III.

$\mathrm {ou} \quad 2y=c-\int dx\,\mathrm {tang.} x+\int dx\cdot {\frac {\sin .{\overline {2m+1}}\,x}{\cos .x}}\cdot$

intégrant par parties le dernier terme du second membre, et supposant $m$ infini, on a $y=c+{\tfrac {1}{2}}\log .\cos .x.$ Si dans l’équation

$y={\tfrac {1}{2}}\cos .2x-{\tfrac {1}{4}}\cos .4x+{\tfrac {1}{6}}\cos .6x-{\tfrac {1}{8}}\cos .8x+\dots \mathrm {etc.}$

on suppose $x$ nulle, on trouve ;

$y={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}-{\tfrac {1}{8}}+\dots \mathrm {etc.} ={\tfrac {1}{2}}\log .2\;;$

donc $y={\tfrac {1}{2}}\log .2+{\tfrac {1}{2}}\log .\cos .x.$ On parvient ainsi à la série donnée par Euler :

$\log .(2\cos .{\tfrac {1}{2}}x)=\cos .x-{\tfrac {1}{2}}\cos .2x+{\tfrac {1}{3}}\cos .3x-{\tfrac {1}{4}}\cos .4x+\mathrm {etc.}$

184.

En appliquant le même procédé à l’équation

$y=\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+\mathrm {etc.} ,$

on trouvera la série suivante, qui n’avait pas été remarquée,

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+{\frac {1}{9}}\sin .9x+\mathrm {etc.} ,$

Il faut observer à l’égard de toutes ces séries, que les équations qui en sont formées n’ont lieu que lorsque la variable $x$ est comprise entre certaines limites. C’est ainsi que la fonction