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CHAPITRE III.

multipliant par $2\sin .x,$ et remplaçant chaque terme du second membre par la différence de deux sinus, on aura :

${\begin{aligned}2\sin .x{\frac {dy}{dx}}&=\sin .{\overline {x+x}}-\sin .{\overline {x-x}}\\&-\sin .{\overline {2x+x}}+\sin .{\overline {2x-x}}\\&+\sin .{\overline {3x+x}}-\sin .{\overline {3x-x}}\\&\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\&\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\&+\sin .({\overline {m-1}}x+x)-\sin .({\overline {m-1}}x-x)\\&-\sin .(mx+x)+\sin .(mx-x)\;;\\\end{aligned}}$

et, en réduisant

$2\sin .x{\frac {dy}{dx}}=\sin .x+\sin .mx-\sin .(mx+x),$

la quantité	$\sin .mx-\sin .(mx+x)$
ou	$\sin .(mx+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{2}}x)-\sin .(mx+{\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}x)$

équivaut à $-2.\sin .{\tfrac {1}{2}}x.\cos .(mx+{\tfrac {1}{2}}x)\,;$ on a donc

${\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{2}}-{\frac {\sin .{\frac {1}{2}}x}{\sin .x}}\cos .(mx+{\frac {1}{2}}x),\\\mathrm {ou} \quad {\frac {dy}{dx}}&={\frac {1}{2}}-{\frac {\cos .(mx+{\frac {1}{2}}x)}{2\cos .{\frac {1}{2}}x}}\,;\end{aligned}}$

on en conclut

$y={\frac {1}{2}}x-\int dx.{\frac {\cos .(mx+{\frac {1}{2}}x)}{2\cos .{\frac {1}{2}}x}}.$