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THÉORIE DE LA CHALEUR.

vement de la chaleur dans l’intérieur du solide, l’équation

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dz^{2}}}\right)\qquad ({\boldsymbol {\mathrm {d} }})$

129.

Il reste à former les équations qui se rapportent à l’état de la surface, ce qui ne présente aucune difficulté, d’après les principes que nous avons établis. En effet, la quantité de chaleur qui traverse, pendant l’instant $dt,$ le rectangle $dx\,dy,$ tracé sur un plan perpendiculaire aux $x,$ est $-\mathrm {K} \,dy\,dz{\frac {dv}{dx}}dt.$ Ce résultat, qui s’applique à tous les points du solide, doit avoir lieu aussi lorsque la valeur de $x$ est égale à $l,$ demi-épaisseur du prisme. Dans ce dernier cas, le rectangle $dy\,dz$ étant placé à la superficie, la quantité de chaleur qui le traverse, et se dissipe dans l’air pendant l’instant $dt,$ est exprimée par $h\,dy\,dz\,v\,dt,$ on doit donc avoir, lorsque $x=l,$ l’équation $h\,v=-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}.$ Cette condition doit aussi être satisfaite lorsque $x=-l.$

On trouvera de même que, la quantité de chaleur qui traverse le rectangle $dx\,dz$ situé sur un plan perpendiculaire à l’axe des $y$ étant en général $-\mathrm {K} \,dx\,dz{\frac {dv}{dy}}dt$, et celle qui à la superficie s’échappe dans l’air à travers ce même rectangle étant $h\,dx\,dz\,v\,dt,$ il est nécessaire que l’on ait l’équation $hv+\mathrm {K} {\frac {dv}{dy}}=0,$ lorsque $y=l\;\mathrm {ou} =-l.$ Enfin on obtient pareillement l’équation déterminée $hv+\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}}=0,$ qui est satisfaite lorsque $z=l\;\mathrm {ou} =-l.$

130.

La fonction cherchée, qui exprime le mouvement varié de