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THÉORIE DE LA CHALEUR.

Il s’agit de déterminer les états successifs du corps pendant toute la durée du refroidissement.

Le centre du cube est pris pour origine des coordonnées rectangulaires ; les trois perpendiculaires, abaissées de ce point sur les faces, sont les axes des $x,$ des $y$ et du $z\,;$ $2l$ est le côté du cube, $v$ est la température à laquelle un point dont les coordonnées sont $x,$ $y,$ $z,$ se trouve abaissé, après le temps $t,$ qui s’est écoulé depuis le commencement du refroidissement : la question consiste à déterminer la fonction $v,$ qui contient $x,$ $y,$ $z$ et $t.$

127.

Pour former l’équation générale à laquelle $v$ doit satisfaire, on cherchera quel est le changement de température qu’une portion infiniment petite du solide doit éprouver pendant l’instant $dt,$ en vertu de l’action des molécules qui en sont extrêmement voisines. On considérera donc une molécule prismatique comprise entre six plans rectangulaires ; les trois premiers passent par le point m, dont les coordonnées sont $x,$ $y,$ $z,$ et les trois autres, par le point m’, dont les coordonnées sont $x+dx,$ $y+dy,$ $z+dz.$

La quantité de chaleur qui pénètre pendant l’instant $dt$ dans la molécule, à travers le premier rectangle $dy\,dz$ perpendiculaire aux $x,$ est $-\mathrm {K} \,dy\,dz{\frac {dv}{dx}}dt,$ et celle qui sort dans le même temps de la molécule, par la face opposée, se trouve en mettant $x+dx$ au lieu de $x,$ dans l’expression précédente, elle est $-\mathrm {K} \,dy\,dz{\frac {dv}{dx}}dt-\mathrm {K} \,dy\,dz\,d\left({\frac {dv}{dx}}\right)dt,$ cette différentielle étant prise par rapport à $x$ seulement. La quantité de chaleur qui entre pendant l’instant $dt$ dans