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CHAPITRE II.

supposons une longueur égale à l’unité, a pour expression $-2\mathrm {K} \pi x{\frac {dv}{dx}}dt.$ Pour trouver la quantité de chaleur, qui, traversant la seconde surface dont le rayon est $x+dx,$ passe de la couche infiniment peu épaisse dans la partie du solide qui l’enveloppe, il faut, dans l’expression précédente, changer $x$ en $x+dx,$ ou, ce qui est la même chose, ajouter au terme $-2\mathrm {K} \pi x{\frac {dv}{dx}}dt,$ la différentielle de ce terme, prise par rapport à $x.$ Donc la différence de la chaleur reçue à la chaleur perdue, ou la quantité de chaleur qui, s’accumulant dans la couche infiniment petite détermine les changements de température, est cette même différentielle, prise avec un signe contraire, ou $2\mathrm {K} \pi \,dt\,d\left(x{\frac {dv}{dx}}\right)\,;$ d’un autre côté, le volume de cette couche intermédiaire est $2\pi x\,dx$ et $2\mathrm {CD} \pi x\,dx$ exprime ce qu’il faut de chaleur pour l’élever de la température 0 à la température 1, $\mathrm {C}$ étant la chaleur spécifique, et $\mathrm {D}$ la densité ; donc le quotient

${\frac {2\,\mathrm {K} \,\pi \,dt\,d\left(x{\frac {dv}{dx}}\right)}{2\,\mathrm {C.D} \,\pi \,x\,dx}}$

est l’accroissement que reçoit la température pendant l’instant $dt.$ On obtient ainsi l’équation :

${\frac {dv}{dt}}={\frac {\mathrm {K} }{\mathrm {C.D} }}\left({\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}{\frac {dv}{dx}}\right).$

120.

La quantité de chaleur qui traverse, pendant l’instant $dt,$ la surface cylindrique dont le rayon est $x,$ étant généralement exprimée par $2\mathrm {K} \pi x{\frac {dv}{dx}}dt,$ il s’ensuit que l’on