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CHAPITRE II.

fonction de $x$ et de $t$, dans laquelle doivent entrer aussi toutes les températures initiales ; c’est cette fonction qu’il s’agit de découvrir.

104.

On considérera le mouvement de la chaleur dans une tranche infiniment petite, comprise entre une section placée à la distance $x,$ et une autre section placée à la distance $x+dx.$ L’état de cette tranche pendant la durée d’un instant est celui d’un solide infini que terminent deux plans parallèles retenus à des températures inégales ; ainsi la quantité de chaleur qui s’écoule pendant cet instant $dt$ à travers la première section, et passe ainsi de la partie du solide qui précède la tranche dans cette tranche elle-même, est mesurée d’après les principes établis dans l’introduction, par le produit de quatre facteurs, savoir, la conducibilité $\mathrm {K} ,$ l’aire de la section $\mathrm {S} ,$ le rapport $-{\tfrac {dv}{dx}}$ et la durée de l’instant ; elle a pour expression $-\mathrm {KS} {\tfrac {dv}{dx}}dt.$ Pour connaître la quantité de chaleur qui sort de la même tranche à travers la seconde section, et passe dans la partie contiguë du solide, il faut seulement changer $x$ en $x+dx$ dans l’expression précédente, ou ce qui est la même chose, ajouter à cette expression sa différentielle prise par rapport à $x\,:$ ainsi la tranche reçoit par une de ses faces une quantité de chaleur égale à $-\mathrm {KS} {\tfrac {dv}{dx}}dt$ et perd par la face opposée une quantité de chaleur exprimée par $-\mathrm {KS} {\tfrac {dv}{dx}}dt-\mathrm {KS} {\tfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}dx\,dt.$ Elle acquiert donc à raison de sa position une quantité de chaleur égale à la différence de deux quantités précédentes, qui est $\mathrm {KS} {\tfrac {d^{2}v}{dx^{2}}}\,dx\,dt.$