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THÉORIE DE LA CHALEUR.

fique de la substance dont le solide est formé, $\mathrm {D}$ est la densité, et $\mathrm {C}$ la chaleur spécifique ; $t$ est le temps écoulé.

Nous supposons ici que l’on admet la vérité de cette équation, et nous allons examiner l’usage que l’on en doit faire pour trouver la quantité de chaleur qui traverse un plan donné parallèle à l’un des plans rectangulaires.

Si, par le point m, dont les coordonnées sont $x,\,y,\,z,$ on mène un plan perpendiculaire aux $z,$ on trouvera, d’après l’article précédent, que la valeur du flux, en ce point et à travers le plan, est $-\mathrm {K} {\frac {dv}{dz}},$ ou $\mathrm {K} e^{-gt}\cos .x.\cos .y.\sin .z.$ La quantité de chaleur qui traverse, pendant l’instant $dt,$ un rectangle infiniment petit, situé sur ce plan et qui a pour côtés $dx$ et $dy,$ est

$\mathrm {K} e^{-gt}\cos .x.\cos .y.\sin .z.\,dx\,dy\,dt.$

Ainsi la chaleur totale qui, pendant l’instant $dt$, traverse l’étendue entière du même plan, est

$\textstyle \mathrm {K} e^{-gt}\sin .z.dt\int \cos .x.\cos .y.\,dx\,dy\,;$

la double intégrale étant prise depuis $x=-{\tfrac {1}{2}}\pi ,$ jusqu’à $x={\tfrac {1}{2}}\pi$, et depuis $y=-{\tfrac {1}{2}}\pi$, jusqu’à $y={\tfrac {1}{2}}\pi$. On trouvera donc, pour l’expression de cette chaleur totale,

$4\mathrm {K} e^{-gt}\sin .z.dt$

Si l’on prend ensuite l’intégrale par rapport à $t,$ depuis $t=0$ jusqu’à $t=t,$ on trouvera la quantité de chaleur qui a traversé le même plan depuis que le refroidissement a commencé, jusqu’au moment actuel. Cette intégrale est ${\tfrac {4\mathrm {K} }{g}}\sin .z(1-e^{-gt}),$ elle a pour valeur à la surface

${\frac {4\mathrm {K} }{g}}(1-e^{-gt}),$