En général la valeur du flux vertical, dans les deux cas que l’on vient de citer, ne dépend que du coëfficient de et de la conducibilité spécifique cette valeur est toujours égale à
L’expression de la quantité de chaleur qui, pendant l’instant s’écoule à travers un cercle horizontal infiniment petit, dont la surface est ω, et passe ainsi de la partie du solide qui est inférieure au plan du cercle, dans la partie supérieure, est, pour les deux cas dont il s’agit,
98.
Il est aisé maintenant de généraliser ce résultat et de reconnaître qu’il a lieu quel que soit le mouvement varié de la chaleur exprimé par l’équation
En effet, désignons par les coordonnées du point m, et sa température actuelle par . Soient les coordonnées d’un point µ infiniment voisin du point m et dont la température est sont des quantités infiniment petites ajoutées aux coordonnées elles déterminent la position des molécules infiniment voisines du point m, par rapport à trois axes rectangulaires, dont l’origine est en m, et qui seraient parallèles aux axes des , des , et des En différentiant l’équation
et remplaçant les différentielles par on aura, pour
exprimer la valeur de qui équivaut à l’équation
linéaire les coëfficients
sont des fonctions de dans
