la ſeconde condition de ce theoreme, ſont vn triangle ABC duquel le coſté AB ſoit moindre que le coſté AC, & außi que la baſe BC. Du centre : A & de l’interualle du petit coſté AB, ſoit deſcrit vn cercle BDE qui couppera tant le plus grand coſté AC, que la baſe BC ; Car autrement il paſſeroit ou par ie poinct C, ou au-delà d’iceluy ; ce qui eſt abſurde, veu que toutes les lignes droites tirées du centre A à la circonférence du cercle BDE, doiuent eſtre. égales entr’elles par la 15. def. Qu’il couppe donc la baſe BC en D, & ſoit tirée la ligne AD. Par la meſme 15. def ? AB eſt égalé a AD & à AC eſt commun à tous les deux triangles ABC, ADC, & partant iceux triangles auront les deux coſtez, AB, AC égaux aux deux coſtez AD, AC, chacun au ſien ; mais l’angle DAC, contenu des deux coſtez AD & AC n’eſt que partie de l’angle BAC, contenu des coſtez egaux à ceux-là ; & partant la baſe DC ne fera außi que partie de la baſe BC 21, le coſté AD ſera außi 13, & la baſe DC 11 ; mais l’aire ou contenu du triangle ABC ſera 126, & celuy du triangle DAC ne ſera que 66. Donc afin que de deux triangles les baſes ſoient égales entr’elles, & leurs angles außi égaux entr’eux, & pareillement les trian-
gles égaux ; il eſt du tout neceſſaire que non ſeulement chaque coſté de l’vn ſoit égal a chaque coſté de l’autre, mais außi que les angles contenus d’iceux coſtez ſoient égaux entr’euxt comme a fort bien dit Euclide.
Finallement, nous remarquerons vne fois pour toutes qu’Euclide n’entend parler en ces Elemens cy que des triangles rectilignes, car combien que cette propoſition & pluſieurs autres ſi puiſſent faire generales eſtans ueritables, tant au regard des triangles rectilignes que des ſpheriques, ſi eſt-ce toutefois que celà n’aduient pas en toutes propoſitions, comme on peut voir en noſtre traité des triangles ſpheriques, c’eſt pourquoy nous eſtendrons toutes ſes propoſitions ſeulement aux triangles rectilignes, encores qu’Euclide ne les ſpecifie pas.
Les triangles Iſoſceles, ont les angles ſur la baſe égaux : & les coſtez égaux eſtans continuez, les angles extérieurs ſous la baſe ſont egaux.
Soit le triangle iſoſcele ABC : Ie dis premièrement que les angles ABC, & ACB, ſur la baſe BÇ, ſont egaux.
Qu’il ne ſoit ainſi. Soient prolongez AB & AC, coſtez égaux iuſques en D & G ; & ſoit fait AF egale à AG par la 3. prop. & Voient menees les lignes BG & C. Les deux triangles ABG, & ACF, ayans l’ang]é A commun, ont les deux coſtez AB & AG égaux aux deux coſtez AC & AF, chacun au ſien ; & par 4. propoſition, la baſe BG ſera egale à la baſe CF, & l’angle ABG egal à l’angle ACF, & l’angle C egal à l’angle F. Item les triangles GCB
