Or cette derniere série, qui n’a point d’homologue dans les divisions du diametre, & sans laquelle on ne sauroit pourtant completter le système harmonique, montre la nécessité de chercher dans les propriétés du cercle les vrais fondemens du système, qu’on ne peut trouver, ni dans la ligne droite, ni dans les seuls nombres abstraits. Cette théorie établie, il s’agit maintenant d’en déduire les faits donnés & les regles de l’art harmonique.
L’octave, qui n’engendre aucun son fondamental, n’étant point essentielle à l’harmonie, peut être retranchée des parties constitutives de l’accord; ainsi l’accord réduit à sa plus grande simplicité, doit être considéré sans elle. Alors il est composé seulement de ces trois termes 1 , lesquels sont en proportion harmonique, & où les deux monades sont les seuls vrais élémens de l’unité sonore, qui porte le nom d’accord parfait; car la fraction ¼ est élément de l’octave ½, & la fraction est octave de la monade .
Cet accord parfait 1 , produit par une seule corde, & dont les termes sont en proportion harmonique, est la loi générale de la nature, qui sert de base à toute la science des sons; loi que la physique peut tenter d’expliquer, mais dont l’explication est inutile aux regles de l’harmonie. Les calculs des cordes & de poids tendans servent à donner en nombre le rapport des sons qu’on ne peut considérer comme des quantités qu’à la faveur de ces calculs. Le troisieme son, engendré par le concours de deux autres, est comme le produit de leurs quantités; & quand dans une cathégorie commune, ce troisieme son se trouve toujours le même quoiqu’engendré par des intervalles différens, c’est que les produits des générateurs sont égaux entre eux.
Ceci se deduit manifestement des proposicions précédentes. Quel est, par exemple, le troisieme son qui résulte de C B & de G B? (fig. 9.) C’est l’unisson de C B. Pourquoi? Parce que dans les deux proportions harmoniques, dont les quarrés des deux ordonnées C, C C, & G, G G, sont moyens proportionnels, les sommes des extrêmes sont égales entre elles, & par conséquent produisent le même son commun C B, ou C, C C. En effet, la somme des deux rectangles de B C par C, C C, & de A C par C, C C est égale a la somme des deux rectangles de B G par C, C C, & de G A par C, C C: car chacune de ces deux sommes est égale à deux fois le quarré du rayon. D’où il suit que le son C, C C ou C B, doit être commun aux deux cordes: or ce son est précisément la note Q de l’exemple O. Quelques ordonnées que vous puissiez prendre dans le cercle pour les comparer deux à deux, ou même trois à trois, elles engendreront toujours le même troisieme son représenté par la note Q; parce que les rectangles des deux parties du diametre par le rayon donneront toujours des sommes égales. Mais l’octave X Q n’engendre que des harmoniques à l’aigu, & point de son fondamental, parce qu’on ne peut élever d’ordonnée sur l’extrémité du diametre, & que par conséquent le diametre & le rayon ne sauroient, dans leur proportion harmonique, avoir aucun produit commun.
Au-lieu de diviser harmoniquement le diametre par les fractions ½ ¼ , qui donne le système naturel de l’accord majeur, si on le divise arithmétiquement en six parties égales (voyez fig. 11.) on aura le système de l’accord majeur renversé, & ce renversement donne exactement l’accord mineur: car une de ces parties donnera la dix-neuvieme, deux donneront la douzieme, trois donneront l’octave, quatre la quinte, & cinq la tierce mineure.
Mais aussi-tôt qu’unissant deux de ces sons, on cherchera le troisieme son qu’ils engendrent, ces deux sons simultanés, au-lieu du son C (fig. 12.) ne produiront jamais pour fondamental que le son E b, ce qui prouve que ni l’accord mineur, ni son mode, ne sont donnés par la nature. Que si l’on fait consonner deux ou plusieurs intervalles de l’accord mineur, les sons fondamentaux se multiplieront; & relativement à ces sons, on entendra plusieurs accords majeurs à-la-fois sans aucun accord mineur. Voyez ci-devant, Pl. XI. fig. 6. & ce qui en est dit.
PLANCHE XIII.
La fig. 1. représente l’échelle diatonique commune, comparée à celle des aliquotes, donnée par les divisions naturelles des cors, trompettes marines, & autres instrumens semblables, selon M. Baliere (Théorie de la Musique); par la comparaison de ces deux échelles on voit en même tems la cause des tons faux donnés par ces instrumens. Cependant l’échelle commune, pour n’être pas d’accord avec la série des aliquotes, n’en a pas moins une origine physique & naturelle, qu’il faut développer.
La portion de la premiere série O (fig. 9. Pl. XII.) qui détermine le système harmonique, est la sesquialtere ou quinte C G, c’est-à-dire l’octave harmoniquement divisée. Or les deux termes, qui correspondent à ceux-là dans la série P des complémens (fig. 10. Pl. XII.) sont les notes G F. Ces deux cordes sont moyennes, l’une harmonique & l’autre arithmétique entre la corde entiere & sa moitié, ou entre le diametre & le rayon; & ces deux moyennes G & F se rapportant toutes deux à la même fondamentale, déterminent le ton & même le mode, puisque la proportion harmonique y domine, & qu’elles paroissent avant la génération du mode mineur: n’ayant donc d’autre loi que celle qui est déterminée par la série harmonique dont elles dérivent, elles doivent en porter l’une & l’autre le caractere; savoir l’accord parfait majeur, composé de tierce majeur & de quinte.
La fig. 2. représente la même échelle diatonique, le nom des intervalles compris entre les sons qui la composent, & le rapport de ces mêmes sons exprimés conformément à ceux des trois accords parfaits de la fig. 7. Pl. XI. On voit en cette figure que tous les intervalles sont justes, excepté l’accord parfait D F A, dans lequel la quinte D A est foible d’un comma, de même que la tierce mineure D F, à cause du ton mineur D E; mais dans tout système ce défaut ou l’équivalent est inévitable. L’échelle une fois établie, le principal usage des trois notes C, G, F, (fig. 7. Pl. XI.) dont elle est tirée, est la formation des cadences, qui donnant un progrès de notes fondamentales de l’une à l’autre, sont la basse de toute la modulation. G étant moyen harmonique, & F moyen arithmétique entre les deux termes de l’octave, le passage du moyen à l’extrême forme une cadence qui tire son nom du moyen qui la produit. G C est donc une cadence harmonique, F C une cadence arithmétique, & l’on appelle cadence mixte celle qui, du moyen arithmetique passant au moyen harmonique, se compose des deux avant de se résoudre sur l’extrême. (Voyez fig. 3.)
De ces trois cadences, l’harmonique est la princi-pale & la premiere en ordre: son effet est d’une harmonie mâle, forte, & terminant un sens absolu. L’arithmétique est foible, douce, & laisse encore quelque chose à désirer. La cadence mixte suspend le sens & produit à-peu-près l’effet du point interrogatif & admiratif. Dans la succession naturelle de ces trois cadences, telle qu’on la voit en cette Planche fig. 5. résulte exactement la basse fondamentale
