| 25 | |
| 25 | |
| 125 | |
| 50 | |
| 625 |
je pose 5 & retiens 2 ; puis je multiplie une fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 5×2 font 12, que je pose à gauche de mon 5.
Je multiplie une seconde fois les dixaines 2 par les unités 5, lorsque je dis 2×5 font 10, je pose 0 & retiens 1. Enfin je multiplie les dixaines 2 par elles-mêmes, ce qui me donne le quarré de ces dixaines, en disant, 2×2 font 4, & 1 de retenue font 5, que je pose à gauche du 0. J’ajoûte ces sommes, & j’ai le produit 625 dont on propose de tirer la racine quarrée ; c’est-à-dire qu’il s’agit de trouver le nombre qui, multiplié par lui-même, a formé le quarré 625. Mais avant que de commencer cette opération, on doit avoir la table suivante sous ses yeux, ou plûtôt dans sa mémoire.
| Racines. | Quarrés. | Cubes. |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 6 | 36 | 216 |
| 7 | 49 | 343 |
| 8 | 64 | 512 |
| 9 | 81 | 729 |
| 10 | 100 | 1000 |
| 6 - 25 | 
|
||
Cela posé, je partage mon nombre total 625 en deux tranches, comme l’on voit ci-à-côté. La premiere tranche à gauche qui pourroit avoir deux chiffres, peut aussi n’en avoir qu’un ; mais toutes les autres tranches à droite sont nécessairement de deux chiffres ; & pour le démontrer, prenons les plus petits chiffres possibles, par exemple 100. Si on multiplie 100 par 100, on aura le quarré 1, 00, 00 en trois tranches, dont la premiere à gauche n’a qu’un chiffre, tandis que les autres en ont deux. Prenons à-présent les plus grands chiffres possibles, 999. Si on les multiplie par eux-mêmes, on aura le quarré 99, 80, 01, qui fait trois tranches chacune de deux chiffres, & non davantage. Au surplus les différentes tranches, suivant le système de la progression décuple, expriment les unités, dixaines, centaines, &c. de la racine totale.
| 6 - 25 |
|
25 | |
| 2 2 | |||
| 4 |
Ces premieres notions une fois établies, je dis : la racine quarrée de 6 est 2 pour 4 ; voilà déjà nos dixaines trouvées ; je les pose en forme de quotient à côté de 625, comme l’on voit dans l’exemple : puis je les quarre en disant, 2×2 font 4, & je tire ce quarré 4 de la premiere tranche 6, disant, 4 de 6 reste 2.
Il faut observer que ces deux dixaines dont j’ai formé le quarré font 20 ; & qu’ainsi en disant 2×2 font 4, 4 de 6 reste 2, c’est comme si je disois 20×20 font 400, 400 de 600 reste 200.
Je baisse à-présent le 2 de la seconde tranche 25 ; ce qui fait avec mon premier 2, résidu de mon 6, 22. Je m’attache ensuite à chercher le second chiffre de la racine totale ; & comme dans le produit de la multiplication ci-dessus exposée, j’ai employé deux fois les dixaines 2, autrement une fois 4 dixaines multipliées par les unités 5, j’y dois trouver la même somme ou quantité, en décomposant, pour l’extraction de la racine.
Je prends donc deux fois les dixaines 2, ce qui fait 4 dixaines : j’écris ce 4 sous le 2 de ma seconde tranche, & je dis : en 22 combien de fois 4 ? il y est 5 & reste 2, qui avec le 5 de la seconde tranche, que je n’ai point baissé, pour éviter l’embarras, fait
Je forme le quarré 25 de ces unités 5, puis je multiplie les mêmes unités 5 par le double 4 des dixaines 2, & je tire ces deux produits de ma derniere tranche & du résidu de la premiere,
| c’est-à-dire de 225, ci | 225 | |
| en disant 5×5 font 25, 25 de 25 reste 0 & retiens 2 ; 5×4 font 20 & 2 de retenus font 22, 22 de 22 reste 0. | 000 |
Ces deux produits se tirant exactement sans aucun reste, je conclus que la racine quarrée de 625 est tout juste 25. Pour derniere preuve je multiplie 25 par 25 ; & retrouvant le produit 625, je demeure pleinement convaincu que mon opération est exacte.
Mais voici une autre méthode que je préfere, à plusieurs égards. On commence l’opération à l’ordinaire pour la premiere tranche ; la différence ne paroît qu’à la seconde, & elle est la même dans toutes les suivantes. Au lieu donc de tirer deux fois nos dixaines 2, c’est-à-dire 4 dixaines, & de dire, comme on fait communément, pour trouver le second chiffre d’une racine, en 22 combien de fois 4, il y est 5 ; ne prenons que la moitié 11 du nombre 22 ; ne prenons aussi que la moitié de nos 4 dixaines, c’est-à-dire, ne tirons qu’une fois nos dixaines 2 de notre moitié 11.
| Ecrivons 2 sous 11 en cette sorte, | 11 | |
| & disons, en 11 combien de fois 2, il s’y trouve 5 fois, comme 4 s’est trouvé 5 fois en 22, 2 étant à 11 comme 4 à 22. | 2 |
Je pose donc 5 pour second chiffre de la racine totale du quarré 625 ; mais comme ce 5 pourroit quelquefois être trop fort, je le pose séparément, comme chiffre que je dois éprouver : & alors, pour vérifier s’il est bon, & sans examiner si je pourrai tirer du dernier résidu le quarré 25 des unités 5, quarré qui doit encore se trouver en 625, puisqu’il y est entré par la multiplication ; je procede tout de suite à la preuve : pour cela je multiplie 25 par 25 ; & trouvant au produit 625, je m’assûre que la racine quarrée de 625 est tout juste 25.
Si la somme à décomposer, ou dont on cherche la racine, au lieu de 625 n’étoit, par exemple, que 620, pour lors le procédé donneroit encore 25 pour racine totale ; mais venant à la preuve, & multipliant 25 par 25, on auroit le produit 625 plus fort que 620 : on verroit par-là que le chiffre à éprouver 5, qu’on auroit mis pour second chiffre de la racine totale, seroit un peu trop fort. On mettroit donc 4, & l’on en feroit l’épreuve en multipliant 24 par 24,
| 620 | |
| 576 | |
| 44 |
on tireroit le quarré 576 de 620, en cette sorte, & l’on verroit pour lors avec certitude que la racine quarrée de 620 est 24, outre le résidu 44, qui fait une espece de fraction dont il ne s’agit pas ici.
Si après avoir mis 4 pour second, troisieme, quatrieme chiffre d’une racine, ce 4 se trouvoit encore trop fort par l’épreuve qu’on en feroit, alors au lieu de 4 on ne mettroit que 3, & l’on viendroit à la preuve, comme on a vû ci-dessus.
Cette maniere d’extraire est préférable, en ce qu’elle diminue les nombres sur lesquels on opere, & qu’il y a toûjours moins à tâtonner. C’est-là proprement l’avantage de cette méthode, laquelle est sur-tout bien commode pour l’extraction de la racine cubique, où elle abrege beaucoup l’opération ; c’est pourquoi il est bon de s’y accoûtumer dès la racine quarrée, il est plus facile de l’employer ensuite dans l’extraction de la racine cubique.
Au reste la démonstration qu’on vient de voir de
