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à l’analyse des lignes courbes, par M. Cramer ; ouvrage très-complet, très-clair & très-instructif, & dans lequel on trouve d’ailleurs plusieurs méthodes nouvelles : 5° l’ouvrage de M. Euler, qui a pour titre, introductio in analys. infinitorum, Lausan. 1748.

Sur les propriétés, la génération, &c. des différentes courbes méchaniques particulieres ; par exemple, de la cycloïde, de la logarithmique, de la spirale, de la quadratrice, &c. Voy. les articles Cycloïde, Logarithmique, &c.

On peut voir aussi la derniere section de l’application de l’Algebre à la Géométrie, de M. Guisnée, où l’on trouvera quelques principes généraux sur les courbes méchaniques. Voyez aussi Mechanique & Transcendant.

On peut faire passer une courbe géométrique & réguliere, par tant de points qu’on voudra d’une courbe quelconque irréguliere, tracée sur le papier ; car ayant imaginé dans le plan de cette courbe une ligne droite quelconque, qu’on prendra pour la ligne des abscisses, & ayant abaissé des points donnés de la courbe irréguliere des perpendiculaires à la ligne des x, on nommera a la premiere ordonnée, & b l’abscisse qui lui répond ; c la seconde ordonnée, & e l’abscisse correspondante ; f la troisieme ordonnée, & g l’abscisse correspondante. Ensuite on supposera une courbe dont l’équation soit &c. & faisant successivement y = a, x = b ; y = c, x = e ; y = f, x = g, &c. on déterminera les coefficiens A, B, C, &c. en tel nombre qu’on voudra ; & la courbe réguliere dont l’équation est , &c. passera par tous les points donnés. S’il y a n points donnés, il faudra supposer n coefficiens A, B, C, D, &c. On peut donc faire approcher aussi près qu’on voudra une courbe irréguliere d’une courbe réguliere ; mais jamais on ne parviendra à faire coïncider l’un avec l’autre ; & il ne faut pas s’imaginer qu’on puisse jamais, à la vûe simple, déterminer l’équation d’une courbe, comme l’a crû le géometre dont nous avons parlé au commencement de cet article.

Les courbes dont l’équation &c. s’appellent courbes de genre parabolique. Voyez Parabolique. Elles servent à rendre une courbe quelconque irréguliere ou méchanique, le plus géométrique qu’il est possible. Elles servent aussi à l’équarrer par approximation. Voyez Quadrature. Au reste, il y a des courbes, par exemple, les courbes ovales ou rentrant en elles-mêmes, par lesquelles on ne peut jamais faire passer une courbe de genre parabolique ; parce que dans cette derniere courbe l’ordonnée n’a jamais qu’une valeur, & que dans les courbes ovales, elle en a toûjours au moins deux. Mais on pourroit, par exemple, rapporter ces courbes, lorsqu’elles ont un axe qui les divise en deux également, à l’équation &c. Voyez Méthode différentielle.

Courbe à double courbure. On appelle ainsi une courbe dont tous les points ne sauroient être supposés dans un même plan, & qui par conséquent est doublement courbe, & par elle-même, & par la surface sur laquelle on peut la supposer appliquée. On distingue par cette dénomination les courbes dont il s’agit, d’avec les courbes à simple courbure ou courbes ordinaires. M. Clairaut a donné un traité de ces courbes à double courbure ; c’est le premier ouvrage qu’il ait publié.

Une courbe quelconque a double courbure étant supposée tracée ; on peut projetter cette courbe sur deux plans différens perpendiculaires l’un à l’autre, & les projections seront deux courbes ordinaires qui auront un axe commun & des ordonnées différentes. L’équation d’une de ces courbes sera, par exemple, en x & en y, l’autre en x & en z. Ainsi l’équation

d’une courbe à double courbure sera composée de deux équations à deux variables chacune, qui ont chacune une même variable commune. Il est à remarquer que quand on a l’équation en x & en y, & l’équation en x & en z, on peut avoir par les regles connues (Voyez Equation & Division) une autre équation en y & en z ; & ce sera l’équation d’une troisieme courbe, qui est la projection de la courbe à double courbure sur un troisieme plan perpendiculaire aux deux premiers.

On peut regarder, si l’on veut, une des courbes de projection, par exemple, celle qui a pour coordonnées x & y, comme l’axe curviligne de la courbe à double courbure. Si on veut avoir la tangente de cette derniere courbe en un point quelconque, on menera d’abord la tangente de la courbe de projection au point correspondant, c’est-à-dire au point qui est la projection de celui dont on demande la tangente ; & sur cette tangente prolongée autant qu’il sera nécessaire, on prendra une partie ds exprimant le petit arc de la courbe de projection : on a le rapport de ds à dx par l’équation de la courbe en x & en y (Voyez Tangente & Differentiel) ; on a celui de dx à dz par l’équation de la courbe en x & en z. Donc pourra toûjours être exprimé par une quantité finie, d’où les différentielles disparoîtront. Une courbe à double courbure est algébrique, quand les deux courbes de projection le sont ; elle est méchanique, quand l’une des courbes de projection est méchanique, ou quand elles le sont toutes deux. Mais dans ce dernier cas on n’en trouvera pas moins les tangentes ; car par l’équation différentielle des courbes de projection, on aura toûjours la valeur de ds en dx & celle de dz en dx.

Surfaces courbes. Une surface courbe est représentée en Géométrie par une équation à trois variables, par exemple, x, y & z. En effet, si on prend une ligne quelconque au-dedans ou au-dehors de la surface courbe pour la ligne des x, & qu’on imagine à cette ligne une infinité de plans perpendiculaires qui coupent la surface courbe, ces plans formeront autant de courbes, dont l’équation sera en y & en z, & dont le parametre sera la distance variable x du plan coupant à l’origine des x. Ainsi, zz = xx − yy, est l’équation d’un cone droit & rectangle, dont l’axe est la ligne des x. M. Descartes est le premier qui ait déterminé les surfaces courbes par des équations à trois variables, comme les lignes courbes par des équations à deux.

Une surface courbe est géométrique, quand son équation est algébrique & exprimée en termes finis. Elle est méchanique, quand son équation est différentielle & non algébrique ; dans ce cas on peut représenter l’équation de la surface courbe par dz = αdx + αdy, α & β étant des fonctions de x, de y & de z. Il semble d’abord qu’on aura cette surface courbe, en menant à chaque point de la ligne des x un plan perpendiculaire à cette ligne, & en traçant ensuite sur ce plan la courbe dont l’équation est dz = βdy, x étant regardée comme un parametre constant, & dx étant supposée = 0. Cette construction donneroit à la vérité une surface courbe ; mais il faut que la surface courbe satisfasse encore à l’équation dz = adx, y étant regardé comme constant ; c’est-à-dire il faut que les sections de la surface courbe, par un plan parallele à la ligne des x, soient représentées par l’équation dz = adx. Or cela ne peut avoir lieu que lorsqu’il y a une certaine condition entre les quantités α & β ; condition que M. Fontaine, de l’académie des Sciences, a découvert le premier. On trouvera aussi dans les mémoires de l’académie de Petersbourg, tome III. des recherches sur la ligne la plus courte que l’on puisse tracer sur une surface