leurs de x en y ; nous venons de voir que les valeurs, tant positives que négatives de x, appartiennent à la courbe. Or les valeurs négatives sont les mêmes que l’on auroit avec un signe positif, en changeant dans l’équation primitive les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire ; car on sait que dans une équation ordonnée en x, si on change les signes des termes où x se trouve avec une dimension impaire, toutes les racines changent de signe sans changer d’ailleurs de valeur. Voyez Equation. Donc l’équation en x, avec le changement des signes indiqué appartient aussi-bien à la courbe que l’équation en x, sans changer aucun signe. Donc, &c. Il est donc important de changer les signes de x, s’il est nécessaire, pour avoir la partie de la courbe qui s’étend du côté des x négatives. En effet soit, par exemple, l’équation du cercle, on aura, en prenant x positive, ; & en faisant x négative, on aura de même ce qui donne le cercle entier. Si on prenoit seulement x positive, on n’auroit que le demi-cercle ; & si on ne prenoit y que positive, on n’auroit que le quart du cercle.
Voilà donc une démonstration générale de ce que tous les Géometres n’ont supposé jusqu’à présent que par induction. En effet ils ont vû, par exemple, que si , c’est l’équation d’une ligne droite qui coupe son axe au point où , & qui ensuite passe de l’autre côté. Or quand , on a y négative ; ainsi, ont-ils dit, l’ordonnée négative doit être prise du côté opposé à la positive. Ils ont vû encore que est l’équation de la parabole, & que cette courbe a en effet deux parties égales & semblables, l’une à droite & l’autre à gauche de son axe, ce qui prouve que doit être prise du côté opposé à . Plusieurs autres exemples pris du cercle, des sections coniques rapportées à tel axe qu’on jugera à propos, ont prouvé la regle de la position des ordonnées & la nécessité de prendre x négative, après l’avoir pris positive. On s’en est tenu là : mais ce n’étoit pas une démonstration rigoureuse.
Les différentes valeurs de y répondantes à x positive & à x négative, donnent les différentes branches de la courbe. Voyez Branche.
Lorsqu’on a ordonné l’équation d’une courbe par rapport à y ou à x, s’il ne se trouve point dans l’équation de terme constant, la courbe passe par l’origine ; car en faisant , & dans l’équation, tout s’évanoüit. Donc la supposition de quand , est légitime. Donc la courbe passe par le point où .
En général, si on ordonne l’équation d’une courbe par rapport à y, ensorte que le dernier terme ne contienne que x avec des constantes, & qu’on cherche les valeurs de x propres à rendre ce dernier terme égal à zéro, ces valeurs de x donneront les points où la courbe coupera son axe ; car puisque ces valeurs de x substituées dans le dernier terme le rendront =0, on prouvera par le même raisonnement que ci-dessus, que dans les points qui répondent à ces valeurs de x, on a .
Lorsque la valeur de l’ordonnée y est imaginaire, la courbe manque dans ces endroits-là ; par exemple, lorsque dans l’équation la valeur d’y est imaginaire : aussi le cercle n’existe point dans les endroits où ; de même si dans l’équation on fait x négative, on trouvera y imaginaire, ce qui prouve que la parabole ne passe point du côté des x négatives.
On verra aux articles Equation & Imaginaire
que toute quantité imaginaire ou racine imaginaire d’une équation peut se réduire à , A & B étant des quantités réelles, & que toute équation qui a pour racine a pour racine aussi . Or quand une ordonnée passe du réel à l’imaginaire, cela vient de ce qu’une quantité comme C, qui étoit sous un signe radical , devient négative, en sorte que , B étant une quantité réelle. Or pour que C devienne négative, de positive qu’elle étoit, il faut qu’elle passe par le zero, ou par l’infini. Voyez Maximum. Donc au point où l’ordonnée passe à l’imaginaire, on a B nul ou infini ; donc les racines & deviennent égales en ce point-là. Donc la limite qui sépare les ordonnées réelles des ordonnées imaginaires, renferme deux ou plusieurs ordonnées égales, lesquelles seront , ou finies ou infinies ; égales à zero, si , & si B est zero ; finies, si A est finie, & B zero ; infinies si A est infinie & B zero, ou si A est finie & B infinie, ou si A & B sont infinies l’une & l’autre.
Par exemple, si , & que l’équation soit , on a ; si l’équation est , y sera ; si l’équation est , ou , y sera infinie ; & si dans tous ces cas on prend , la valeur de y sera imaginaire.
Quand on a l’équation d’une courbe, il faut examiner d’abord si cette équation ne peut pas se diviser en plusieurs équations rationnelles ; car si cela est, l’équation se rapporte, non à une seule & même courbe, mais à des courbes différentes. On en peut voir un exemple à l’article Hyperboles conjuguées au mot Conjugué. Nous ajoûterons ici, 1°. qu’il faut, pour ne point se tromper là-dessus, mettre d’abord tous les termes de l’équation d’un côté, & zero de l’autre, & voir ensuite si l’équation est réductible en d’autres équations rationnelles ; car soit, par exemple, , on seroit tenté de croire d’abord que l’équation peut se changer en ces deux-ci & , dont le produit donne ; ainsi on pourroit croire que l’équation qui appartient réellement au cercle, appartiendroit au système de deux lignes droites, & . Or on se tromperoit en cela ; mais pour connoître son erreur, il n’y a qu’à faire , & l’on verra alors facilement que cette équation n’est pas le produit des deux équations & ; en effet, on sent assez que ne donne ni , ni ; mais si on avoit l’équation , on trouveroit que cette équation viendroit des deux & , & qu’ainsi elle représenteroit non une courbe, mais un système de deux lignes droites.
2°. Les équations dans lesquelles l’équation apparente d’une courbe se divise, n’en seroient pas moins rationnelles quand elles renfermeroient des radicaux, pourvû que la variable x ne se trouvât pas sous ces radicaux ; par exemple, une équation qui seroit formée de ces deux-ci, & , représenteroit toûjours le système de deux lignes droites. Il faut seulement remarquer que l’équation qui résulte de ces deux-là, se change, en faisant évanoüir tout-à-fait le signe radical, en celle-ci , qui est du quatrieme degré, & qui renferme le système de 4 lignes droites ,
