Page:Diderot - Encyclopedie 1ere edition tome 2.djvu/742

cf. page de discussion pour le remplacement de 2y par 27 dans les équations

ne sera pas égal à $\scriptstyle {\frac {-q}{3}}$ ; car c’est une des conditions de la solution, comme on l’a vû plus haut, que $\scriptstyle -3zy=q$ ; il est vrai que les dix-huit valeurs de y & z satisfont à la condition que $\scriptstyle -27y^{3}z^{3}=q^{3}$. Mais cette condition $\scriptstyle -27y^{3}z^{3}=q^{3}$ est beaucoup plus étendue que la condition $\scriptstyle -3zy=q$, quoique d’abord elle paroisse la même. Par exemple, $\scriptstyle u=b$ ne donne qu’une valeur de u : mais $\scriptstyle u^{3}=b^{3}$ donne trois valeurs de u. Pour le prouver, soit $\scriptstyle u^{3}-b^{3}=0$, & divisons par $\scriptstyle u-b$, il viendra $\scriptstyle uu+bu+bb=0$, ce qui donne $\scriptstyle u=-{\frac {b}{2}}\pm \textstyle {\sqrt {\left({\frac {3bb}{4}}\right)}}$, ainsi $\scriptstyle u^{3}=b^{3}$ donne $\scriptstyle u=b$, $\scriptstyle u=b\times \left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)$ & $\scriptstyle u=b\times \left(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {-3}}{2}}\right)$. Donc quoique dans les dix-huit valeurs de $\scriptstyle y+z$ on ait $\scriptstyle 27y^{3}z^{3}=-q^{3}$, il ne faut prendre que celles où $\scriptstyle 3yz=-q$. Cela posé.

Soient ces quatre équations :

I.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$	$\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$
II.		$\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}-\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$
III.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\end{matrix}}\right.$	$\scriptstyle y^{3}=-{\frac {r}{2}}-\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$
IV.		$\scriptstyle z^{3}=-{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$

Et soit $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}=$ à la racine cubique de $\scriptstyle -{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$, on aura $\scriptstyle a-b{\sqrt {-1}}=$ à la racine de $\scriptstyle -{\frac {r}{2}}+\textstyle {\sqrt {\left(-{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{3}}{4}}\right)}}$, ce qui donnera :

Racines de la premiere équation.

1. $\scriptstyle y=a+b{\sqrt {-1}}$

2. $\scriptstyle y=(a+b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$

3. $\scriptstyle y=(a+b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$

Racines de la seconde.

4. $\scriptstyle z=a-b{\sqrt {-1}}$

5. $\scriptstyle z=(a-b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1+{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$

6. $\scriptstyle z=(a-b{\sqrt {-1}})\left(-{\frac {1-{\sqrt {-3}}}{2}}\right)$

Racines de la troisieme.

Sont les mêmes que de la seconde.

Racines de la quatrieme.

Sont les mêmes que de la premiere.

Donc, 1°. la combinaison des racines de la troisieme équation avec celles de la quatrieme, donnera le même résultat que celle des racines des deux premieres.

2°. Il ne faudra combiner ensemble que les valeurs de y & de z, & dont le produit sera $\scriptstyle {\frac {q}{3}}$, c’est-à-dire aa + bb ; car $\scriptstyle a+b{\sqrt {-1}}$ étant = à $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$ & $\scriptstyle a-b{\sqrt {-1}}=$ $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}-{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}$ on aura $\scriptstyle aa+bb={\sqrt[{3}]{-{\frac {q^{3}}{27}}}}=-{\frac {q}{3}}$, D’où il s’ensuit,

3°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (1) avec la racine marquée (4), ce qui donnera y=2a.

4°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (2) avec la racine marquée (6), ce qui donnera $\scriptstyle -a+b{\sqrt {3}}$.

5°. Qu’il faudra combiner la racine marquée (3) avec la racine marquée (5), ce qui donnera $\scriptstyle -a-b{\sqrt {3}}$.

Voilà les trois racines de l’équation, & il est visible, par les regles que nous avons établies, que toutes les autres valeurs de y + z donneroient des ex-

pressions fausses de la racine x ; & que toutes les

trois racines sont ici réelles.

On peut trouver aisément par la même méthode les trois valeurs de x dans tout autre cas que le cas irréductible. Par exemple, si q est positif, ou si q est négatif & < ou = $\scriptstyle {\frac {r^{2}}{4}}$, alors il faudra supposer $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}\scriptstyle =a+b$, & $\textstyle {\sqrt[{3}]{-{\frac {r}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}\right)}}}}\scriptstyle =a-b$ ; & l’on trouvera en ce cas une racine réelle & deux imaginaires, ou une racine réelle & deux autres réelles, égales entr’elles. C’est ce qu’il est inutile d’expliquer plus en détail : il ne faut pour s’en convaincre, que faire un calcul semblable à celui que nous avons fait pour trouver les trois racines dans le cas irréductible. (O)

Cas, en terme de Palais, se dit de certaines natures d’affaires, de délits ou de crimes. Ainsi les cas royaux sont ceux dont les seuls juges royaux connoissent : tels sont en matiere criminelle la fausse monnoie, le rapt, le port d’armes, la sédition, l’infraction de sauve-garde, & quelques autres. Pour le crime de lese-majesté, qui est aussi un des cas royaux, la connoissance en appartient exclusivement au parlement, du moins au premier chef. En matiere civile, le possessoire des bénéfices, les causes du domaine du Roi, les procès concernant les églises de fondation royale, & en général tous les délits où le Roi a quelqu’intérêt en sa qualité de Roi, voyez Royal ; voyez aussi la Conférence des nouvelles ordonnances au titre premier des matieres criminelles, où plusieurs autres cas royaux sont rapportés.

Il y a aussi des cas qu’on appelle prevôtaux, d’autres qu’on appelle cas privilégiés. Voyez Prevotal & Privilégié.

Il y en a enfin qu’on appelle ecclésiastiques, parce que les seuls juges d’église en peuvent connoître. (H)

* Cas de conscience, (Morale.) Qu’est-ce qu’un cas de conscience ? c’est une question relative aux devoirs de l’homme & du chrétien, dont il appartient au théologien, appellé casuiste, de peser la nature & les circonstances, & de décider selon la lumiere de la raison, les lois de la société, les canons de l’Eglise, & les maximes de l’Evangile ; quatre grandes autorités qui ne peuvent jamais être en contradiction. Voyez Casuiste.

Nous sommes chrétiens par la croyance des vérités révélées, & par la pratique des maximes évangéliques. Nous faisons à Dieu le sacrifice de notre raison par la foi, & nous lui faisons le sacrifice de nos penchans par la mortification : ces deux branches de l’abnégation de soi-même sont également essentielles au Salut : mais l’infraction n’en est peut-être pas également funeste à la société ; & c’est une chose encore à savoir, si ceux qui attaquent les dogmes d’une religion, sont aussi mauvais citoyens que ceux qui en corrompent la Morale.

Il semble au premier coup d’œil que le poison des Corrupteurs de la morale, soit fait pour plus de monde que celui des impies. La dépravation des mœurs est un effet direct de celle des principes moraux ; au lieu qu’elle n’est qu’une suite moins prochaine de l’irreligion ; mais suite toutefois presqu’infaillible, ainsi qu’un de nos plus grands orateurs, le P. Bourdaloue, l’a bien démontré. L’incrédule est d’ailleurs quelquefois un homme, qui las de chercher inutilement dans les sources communes & les conversations ordinaires, le rayon de lumiere qui devoit rompre l’écaille de ses yeux, s’est adressé au public, en a reçû les éclaircissemens dont il avoit besoin, a abjuré son erreur, & a évité le plus grand de tous les mal-