donnés, dont deux, comme AC & AB pris ensemble, sont plus grands que le troisieme ; si vous voulez en construire un triangle, prenez AB pour la base, & du point A avec l’intervalle AC, décrivez un arc y ; & du point B avec l’intervalle BC, décrivez un autre arc x : tirez les lignes droites AC & BC, vous aurez le triangle.
Il ne faut pas s’imaginer que ce problème soit toujours possible ; dès là que la somme des deux côtés est plus grande que le côté pris pour base, ainsi que tous les auteurs qui ont écrit sur la Géométrie paroissent en être persuadés ; car, prenant toujours AB pour base, si le côté AC, par exemple, surpassoit cette base d’une quantité égale ou plus grande que l’autre côté BC, l’intersection ne pourroit pas se faire, & par conséquent la construction ne seroit pas possible. Il est donc nécessaire, quand on propose ce probleme, d’y mettre plus de condition qu’on n’a de coutume, de peur que l’on ne tombe dans une construction absurde, comme je l’ai vu arriver.
C’est pourquoi, comme on ne peut construire qu’un triangle avec trois lignes droites données, il s’ensuit qu’en déterminant les trois côtés, tout le triangle est déterminé.
Ainsi si en deux triangles ACB & acb, fig. 73. l’on a AC ; AB ∷ ac : ab ; AC : CB ∷ ac : bc ; alors les triangles sont déterminés de la même maniere, par conséquent ils sont semblables & équiangles.
3°. Une ligne droite comme AB, & les deux angles A & B adjacens, lesquels pris ensemble sont moindres que deux angles droits, étant donnés ; pour décrire le triangle ABC aux extrémités de la ligne donnée AB, formez les deux angles donnés A & B : continuez les côtés AC & BC, jusqu’à ce qu’ils se rencontrent en C. alors vous aurez le triangle ABC que vous cherchiez.
De sorte qu’un côté & deux angles étant donnés, on a tout le triangle ; par conséquent, si deux triangles A = a & B = b ; alors ces triangles seront déterminés de la même maniere, & par conséquent semblables.
Maniere de mesurer les triangles. Pour trouver la superficie d’un triangle, multipliez la base AB, fig. 74. par la hauteur Cd, la moitié du produit est la superficie du triangle ABC.
Ou de cette autre maniere : multipliez la moitié de la base AB par la hauteur Cd, ou toute la base par la moitié de la hauteur, le produit vous donnera la superficie du triangle.
Par exemple,
| AB = 342 | AB = 342 | AB = 171 | ||
| Cd = 234 | CD = 117 | Cd = 234 | ||
| 1368 | 2394 | 684 | ||
| 1026 | 342 | 513 | ||
| 684 | 342 | 342 | ||
| 2) 80028 | superficie 40014 | superficie 40014 | ||
| superficie 40014. |
Ou bien on trouve la superficie d’un triangle en joignant ensemble les trois côtés, & prenant la moitié de la somme, & de cette moitié on soustrait chaque côté séparément ; après quoi on multiplie la moitié de cette somme par le produit des trois restes, & l’on tire la racine quarrée de ce dernier produit ; d’où il suit, 1°. que si entre la base & la moitié de la hauteur, ou entre la hauteur & la moitié de la base, on trouve une moyenne proportionnelle, ce sera le côté d’un quarré égal au triangle. 2°. Si la superficie d’un triangle est divisée par la moitié de la base, le quotient est la hauteur.
Propriétés des triangles plans. 1°. Si en deux triangles ABC, abc, fig. 73. l’angle A = a les côtés AB = ab & AC = ac, alors le côté BC = bc & les
angles C = c & B = b, & par conséquent ces triangles seront égaux & semblables.
2°. Si un côté du triangle ABC, fig. 75. est continué jusqu’à D, l’angle extérieur DAB sera plus grand qu’aucun des deux angles intérieurs opposés B ou C.
3°. Dans chaque triangle, le plus grand côté est opposé au plus grand angle, & le plus petit côté au plus petit angle.
4°. Dans tous les triangles, deux côtés tels qu’ils soient, sont plus grands que le troisieme.
5°. Si en deux triangles les différens côtés de l’un sont respectivement égaux aux côtés de l’autre, les angles seront aussi respectivement égaux, & par conséquent les triangles seront entierement égaux & semblables.
6°. Si quelque côté, comme B C, fig. 76. d’un triangle A C B, est continué jusqu’à D, l’angle extérieur DOA sera égal aux deux angles intérieurs opposés, y & z pris ensemble.
7°. En tout triangle, comme ABC, les trois angles A, B, C, pris ensemble, sont égaux à deux angles droits, ou à 180d. d’où il s’ensuit, 1°. que si le triangle est rectangle, comme MKL, fig. 71. les deux angles obliques M & L pris ensemble, font un angle droit ou 90d. & par conséquent ce sont des demi-angles droits, si le triangle est isoscele. 2°. Si un angle d’un triangle est oblique, les deux autres pris ensemble sont pareillement obliques. 3°. Dans un triangle équilatéral, chaque angle est de 60 degrés. 4°. Si un angle d’un triangle est soustrait de 180d. le restant est la somme des deux autres ; & si la somme de deux angles est soustraite de 180d. le restant est le troisieme angle. 5°. Si deux angles d’un triangle sont égaux à deux angles d’un autre triangle, soit conjointement, soit séparement, le troisieme angle de l’un est égal au troisieme angle de l’autre. 6°. Comme dans un triangle isoscele DFE, fig. 69. les angles de la base y & u sent égaux ; si l’angle d’en-haut est soustrait de 180d. & que le restant soit divisé par 2, le quotient est la quantité de chacun des angles égaux : de même si le double d’un des angles de la base y est soustrait de 180d. le restant est la quantité de l’angle d’en-haut.
8°. Si en deux triangles ABC & abc, fig. 73. AB. = ab., A = a, & B = b, alors AC. = ac. BC. = bc. C = c & le triangle ACB = acb. d’où il s’ensuit que si en deux triangles ACB. & acb, A = a, B = b, & BC = bc ; alors C = c, par conséquent AC = ac, AB = ab & le triangle ACB = acb.
9°. Si dans un triangle DFE les angles de la base y & u, fig. 69. sont égaux, le triangle est isoscele : par conséquent si les trois angles sont égaux, le triangle est équilatéral.
10°. Si dans un triangle ABC une ligne droite est tirée parallelement à la base, elle coupe les côtés proportionnellement, & forme un petit triangle semblable au grand.
11°. Tout triangle peut être inscrit dans un cercle. Voyez Cercle.
12°. Le côté d’un triangle équilatéral inscrit dans un cercle, est en puissance triple du rayon. Voyez Rayon.
13°. Les triangles de même base & même hauteur, c’est-à-dire, qui se trouvent entre les mêmes lignes paralleles, sont égaux. Voyez Parallele.
14°. Tout triangle, comme CFD, (fig. 41.) est la moitié d’un parallélogramme ACDB, de même ou d’égale base CD, & de même hauteur, ou entre les mêmes paralleles : ou bien un triangle est égal à un parallélogramme qui est sur la même base, mais qui n’a que la moitié de la hauteur, ou qui n’ayant que la moitié de la base, a la même hauteur que le triangle. Voyez Parallélogramme.
15°. Dans tous les triangles tant plans que sphéri-
