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2°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		$\scriptstyle m={\sqrt[{n-1}]{\frac {d}{p}}}$
		d . . . . .
		n		$\scriptstyle s={\frac {pm^{n}-p}{n1}}$
3°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		m = $\scriptstyle {\frac {1-p}{1-d}}$
		d . . . . .
		s		$\scriptstyle n={\frac {{\overline {1.d}}-{\overline {1.p}}}{\overline {1.m}}}+r$
4°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		$\scriptstyle d=pm^{n-1}$
		m . . . . .
		n		$\scriptstyle s={\frac {pm^{n}-p}{n-1}}$
5°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		$\scriptstyle d={\frac {p+{\overline {s\times {\overline {m-1}}}}}{m}}$
		m . . . . .
		s		n = $\scriptstyle {\frac {{\overline {1.d}}-{\overline {1.p}}}{\overline {1.m}}}+1$
6°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	p		$\scriptstyle n=m^{n}-{\frac {s}{p}}m+{\frac {s}{p}}-1=0$ Équation dont la résolution donne la valeur de m
		n . . . . .
		s		$\scriptstyle d=pm^{n-1}$
7°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	d		$\scriptstyle p={\frac {d}{m^{n-1}}}$
		m . . . . .
		n		s = $\scriptstyle {\frac {pm^{n}-p}{m-1}}$
8°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	d		$\scriptstyle p=s-{\overline {{\overline {s-d}}\times m}}$
		m . . . . .
		s		n = $\scriptstyle {\frac {{\overline {1.d}}-{\overline {1.p}}}{\overline {1.m}}}+1$
9°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	d		$\scriptstyle m^{n}-{\frac {1}{1-d}}m^{n-1}+{\frac {d}{1-d}}=0$
		n . . . . .
		s		$\scriptstyle p={\frac {d}{d^{n-1}}}$
10°.	$\left\{{\begin{matrix}\ \\\\\ \end{matrix}}\right.$	m		$\scriptstyle p={\overline {s\times {\frac {\overline {m-1}}{m^{n-1}}}}}$
		n . . . . .
		s		$\scriptstyle d=pm^{n-1}$

Toutes les questions qui appartiennent à la progression géométrique sont résolues d’avance par quelqu’une de ces formules ; nous allons en faire l’application à quelques exemples choisis propres à procurer les éclaircissemens nécessaires.

Exemple I. Entre deux nombres donnés p & d, trouver un nombre quelconque r de moyens proportionnels géométriques.

On connoît directement les premier & dernier termes de la progression supposée, & indirectement le nombre des termes (r + 2.). La question se rapporte donc au second article de la table, où l’on trouve $\scriptstyle m={\sqrt[{n-1}]{\frac {d}{p}}}={\sqrt[{r-1}]{\frac {d}{p}}}$

Que ce soit entre 2 & 54 qu’on demande deux moyens proportionnels ;$\scriptstyle m={\sqrt[{3}]{\frac {52}{2}}}={\sqrt[{3}]{27}}=3$. Et la progression est 2. 6. 18. 54.

Exemple II. Un barril est rempli d’un nombre c de pots de vin ; chaque jour un valet fripon en tire un pot par la clé, qu’il remplace d’un pot d’eau qu’il verse par le bondon : on demande combien, au bout d’un nombre n de jours, il restera de vin dans le barril.

A près le premier jour, la quantité de vin restante est	$\scriptstyle c-1$
Après le $\scriptstyle 2^{d}c-1-{\frac {c+1}{c}}={\frac {cc-2c}{c}}=$	$\scriptstyle c-1\times {\frac {c-1}{c}}$
Après le 3e $\scriptstyle {\overline {\frac {cc-2c+1}{c}}}-{\overline {\frac {cc-2c-1}{cc}}}={\overline {\frac {cc-3cc+3c-1}{1c}}}=$	$\scriptstyle c-1\times ({\overline {\frac {c-1}{c}}})^{2}$

On voit, sans qu’il soit besoin de pousser plus loin

l’induction, qu’il regne ici une progression géométrique, où l’on connoît $\scriptstyle p(c-1)$, $\scriptstyle m({\frac {c-1}{c}})$, & n : ce qui ramene la question au 4^e article de la table. On y trouve le dernier terme (duquel seul il s’agit ici) ou $\scriptstyle d=pm^{n-1}=c-1\times ({\overline {\frac {c-1}{c}}})^{2}$.

Si l’on suppose c = 20, & n = 4 ; la quantité de vin restante dans le barril à la fin du quatrieme jour, sera $\scriptstyle {\frac {19^{4}}{20^{3}}}={\frac {190321}{800}}=16+{\frac {2321}{8000}}$.

c restant le même, si l’on demandoit combien il faudroit répéter de fois ce manége, pour qu’il se trouvât dans le barril précisément autant d’eau que de vin, c’est-à-dire dix pots de l’une & dix pots de l’autre.

Alors on connoîtroit p (19), d (10), & m ($\scriptstyle {\frac {19}{20}}$). La question se résoudroit donc par le premier article de la table, & l’on trouveroit $\scriptstyle n={\frac {{\overline {1.d}}-{\overline {1.p}}}{\overline {1.m}}}+1=100000000-{\frac {12787536}{-222764}}+1={\frac {-1787536}{-222764}}+1=13+{\frac {114368}{211764}}$ ; c’est-à-dire que du 14^e pot il ne faudroit prendre (soit pour le vin qu’on tire, soit pour l’eau dont on le remplace) que la partie indiquée par la fraction.

Exemple III. Trouver la somme de la progression infinie ($\scriptstyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {a}{b^{2}}}\cdot {\frac {a}{b^{3}}}\cdot$ &c.) on suppose a < b.

Les trois élémens connus sont ici $\scriptstyle p({\frac {a}{b}}),m({\frac {1}{b}})$, & $\scriptstyle n(\infty )$ ; ce qui ramene la question au quatrieme cas de la table. . . . m étant une fraction plus petite que l’unité, rend la progression décroissante : mais on sait que pour la rendre croissante il n’y a qu’à la renverser ; ou plûtôt il n’y a qu’à renverser la formule même qui donne la valeur de s, & l’appliquer sous cette forme. Elle deviendra $\scriptstyle s={\frac {p-m^{n}}{1.m}}$ ; où il n’y a nul compte à tenir dans le numérateur du second terme $\scriptstyle (pm^{n})={\frac {a}{b}}\times {\frac {1}{b\infty }}$, quantité infiniment petite, puisque c’est une grandeur finie divisée par une autre infiniment grande. Substituant donc $\scriptstyle {\frac {a}{b}}$ au lieu de p, & $\scriptstyle 1-{\frac {1}{b}}$ ou $\scriptstyle {\frac {b-1}{b}}$, au lieu de $\scriptstyle 1-m$ ; on aura $\scriptstyle s={\frac {\frac {a}{b}}{\frac {b-1}{b}}}={\frac {a}{b}}\times {\frac {b}{b-s}}={\frac {a}{b-1}}$ ; c’est-à-dire qu’en général en toute progression ainsi conditionnée, la somme est le premier terme même, dont le dénominateur a été diminué de l’unité.

Il suit que	$\scriptstyle {\frac {1}{3^{\cdot }}}{\frac {1}{9^{\cdot }}}{\frac {1}{27^{\cdot }}}\ .\ .\ .={\frac {1}{2}}$
	$\scriptstyle {\frac {3}{5^{\cdot }}}{\frac {3}{25^{\cdot }}}{\frac {3}{125^{\cdot }}}\ .\ .\ .={\frac {3}{4^{\cdot }}}$

Desorte que pour avoir une progression infinie dont la somme soit un nombre quelconque entier ou rompu c, il n’y a qu’à en choisir le premier terme ($\scriptstyle {\frac {a}{b}}$), tel que $\scriptstyle {\frac {a}{b-1}}=c$ (ce qu’on peut faire d’une infinité de manieres), & d’ailleurs prendre $\scriptstyle {\frac {1}{b}}$.

Exemple IV. Pour donner une idée des accroissemens rapides que reçoit la somme d’une progression géométrique, au bout d’un nombre, même assez médiocre, de termes, en voici un exemple sur la progression double, dont la marche est une des plus lentes : il est tiré, quant à l’historique, de la Mathématique universelle du P. Castel.

L’inventeur du jeu des échecs (y est-il raconté plus au long) fut pressé par son roi qu’il avoit comblé de gloire, de lui demander une récompense à son choix & proportionnée à la beauté de sa découverte. Après s’en être défendu long-tems, il se fit apporter un échiquer, & le montrant au prince : ordonnez, seigneur, lui dit-il, qu’il me soit délivré un grain de