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VIII. L’espace AD, fig. 60, parcouru sur un plan incliné AG étant donné, déterminer l’espace qui seroit parcouru dans le même tems, sur un autre plan incliné. Du point D élevez une perpendiculaire DB qui rencontre la verticale AB au point B, la longueur AB sera l’espace que le corps parcourt pendant ce tems en tombant perpendiculairement : c’est pourquoi si du point B l’on abaisse une perpendiculaire BE sur le plan AF, AE sera la partie de ce plan incliné que le corps parcourra dans le même tems qu’il tomberoit perpendiculairement du point A au point B, & par conséquent dans le même tems qu’il parcouroit la partie AD dans l’autre plan incliné AC.

Ainsi puisque AB est à AD comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison C, & que AB est à AE comme le sinus total est au sinus de l’angle d’inclinaison F, les espaces AD, AE, que le corps parcourt dans le même tems sur différens plans inclinés, seront comme les sinus des angles d’inclinaison C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans ; & par conséquent aussi réciproquement, comme les longueurs des plans d’égale hauteur AC, AF : d’où l’on voit que le problème peut être résolu de différentes manieres par le calcul.

IX. Les vîtesses acquises dans le même tems sur différens plans inclinés sont, comme les espaces parcourus dans le même tems. Il s’ensuit de-là qu’elles sont aussi comme les sinus des angles d’inclinaison C, F, ou comme les pesanteurs respectives sur les mêmes plans, & réciproquement comme les longueurs des plans AC, AF, d’égale hauteur.

X. Quand un corps qui descend sur un plan incliné AC arrive à la ligne horisontale CB, il a acquis la même vîtesse qu’il auroit acquise en descendant verticalement jusqu’à la même ligne horisontale CB.

Cela se peut prouver aisément par le principe φde = udu de l’article Forces accélératrices ; car on voit que uu est proportionnelle à φe, & comme les forces accélératrices φ sur AC & sur AB sont entr’elles en raison inverse des longueurs parcourues AC & AB, c’est-à-dire en raison inverse de e, il s’ensuit qu’aux points C & B on a φe égal de part & d’autre. Donc, &c.

Il suit de-là 1° qu’un corps pesant qui descend par différens plans inclinés AC, AG, AF, a acquis la même vîtesse quand il arrive à la même ligne horisontale CF.

XI. Le tems de la descente le long d’un plan incliné AC est au tems de la descente perpendiculaire par AB, comme la longueur du plan AC est à sa hauteur AB ; & les tems de la descente par différens plans inclinés d’égale hauteur AC, AG, sont comme les longueurs des plans : car dans le mouvement uniformément accéleré lorsque les vîtesses finales sont égales, les tems sont entr’eux comme les espaces parcourus. C’est une suite des principes posés au mot Accélération.

XII. Si le diametre d’un cercle AB, fig. 61, est perpendiculaire à la ligne horisontale LM, un corps descendra d’un point quelconque de la circonférence DE le long des plans inclinés DB, EB, CB, &c. dans le même tems qu’il descendroit par le diametre AB ; cela se déduit aisément des propositions précédentes.

Toutes ces propositions sur les plans inclinés peuvent se démontrer aisément par la méthode suivante ; soit p la pesanteur, h le sinus d’inclinaison du plan, I étant le sinus total, ph sera la partie de la pesanteur qui agit pour mouvoir le corps le long du plan ; & si on nomme x la longueur d’une partie quelconque du plan, à commencer du point d’où le corps est parti, & u la vitesse du corps, on aura par le principe des forces accélératrices (voyez Forces accélératrices),

, & , de plus le tems de sera  ; donc . On remarquera de plus, que si un corps tomboit de la hauteur x perpendiculairement, on auroit sa vitesse , & le tems . En voilà assez pour démontrer aisément toutes les propositions précédentes sur les plans inclinés.

Lois de l’ascension des corps sur des plans inclinés. I. Si un corps monte dans un milieu qui ne résiste point, suivant une direction quelconque perpendiculairement, ou le long d’un plan incliné, son mouvement sera uniformément retardé.

D’où il suit 1° qu’un corps qui monte perpendiculairement ou obliquement dans un milieu de cette nature, parcourt un espace sous-double de celui qu’il parcouroit dans le même tems sur un plan horisontal avec une vîtesse uniforme, égale à celle qu’il a au commencement de son mouvement.

2°. Les espaces parcourus en tems égaux par un corps qui remonte ainsi, décroissent dans un ordre renversé, comme les nombres impairs 7, 5, 3, 1 ; & quand la force imprimée est épuisée, le corps redescend par la force de la pesanteur.

3°. C’est pourquoi ces espaces sont dans un ordre renversé, comme les espaces parcourus en tems égaux, par un corps qui descend le long de la même hauteur. Car supposons le tems divisé en quatre parties ; dans le premier moment, le corps A descend par l’espace I, & B monte par 7 ; dans le second, A descend par 3, B monte par 5, &c.

4°. D’où il suit qu’un corps qui s’éleve avec une certaine vîtesse, monte à une hauteur égale à celle d’où il faut qu’il tombe pour acquérir à sa chûte la vîtesse initiale, avec laquelle il a monté.

5°. Donc réciproquement un corps qui tombe acquiert par sa chûte une force propre à le faire remonter à la hauteur d’où il est tombé. Voyez Pendule.

II. Etant donné le tems qu’un corps emploie à monter à une hauteur donnée, déterminer l’espace parcouru à chaque instant ; supposez que le corps descende de cette même hauteur dans le même tems, & trouvez l’espace parcouru à chaque instant. Voyez Mouvement & Descente. En prenant ces espaces dans un ordre renversé, ils seront les mêmes que ceux que l’on cherche.

Supposez, par exemple, qu’un corps jetté perpendiculairement monte à une hauteur de 240 piés pendant le tems de quatre secondes, & que l’on demande les espaces qui sont parcourus dans les différens tems de cette ascension ; si le corps étoit descendu, l’espace parcouru dans la premiere minute auroit été 15 piés, dans la seconde 45, dans la troisieme 75, dans la quatrieme 105, &c. par conséquent l’espace parcouru en remontant dans la premiere minute sera 105, dans la seconde 75, &c.

III. Si un corps descend perpendiculairement par AD, fig. 62, ou dans toute autre surface FED, & qu’avec la vîtesse qu’il y a acquise, il remonte le long d’une autre surface CD à des points d’égale hauteur ; par exemple, en G il aura la même vîtesse. Cette proposition est encore une suite des précédentes sur les plans inclinés.

Lorsqu’un corps se meut sur un plan & qu’il rencontre un autre plan, il est facile de voir par le principe de la décomposition des forces, que sa vîtesse le long du premier plan, comme le cosinus de l’angle des plans est au lieu total : donc la vîtesse perdue est comme le sinus verse de l’angle des plans ; or si cet angle est infiniment petit, le sinus verse est infiniment petit du